University-notes/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md

	Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
# Ациклический орграф
- **Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов
- **Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины
- **Полустепень исхода** ($deg^-(x)$) - число рёбер орграфа, выходящих из вершины x
- **Полустепень захода** ($deg^+(x)$) - число рёбер, входящих в вершину x ^3dbfa3

# Теорема о монотонной нумерации
###### Теорема
Для любого ациклического орграфа существует монотонная нумерация его вершин
###### Доказательство
Присваиваются номера вершинам в порядке возрастания, $1, \dots, k$, таким образом уже частичная нумерация монотонна

Выбирается какой-то ориентированный путь P наибольшей длины, проходящий только через вершины, ещё не имеющие номеров. Начальная вершина - $\alpha$

Пусть $\exists$ вершина b так, что $(b,a) \in E$ , тогда вершина
- не принадлежит P, иначе цикл
- имеет номер, иначе есть путь больше P ^0f0cfe