19 lines
1.6 KiB
Markdown
19 lines
1.6 KiB
Markdown
|
Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
|
|||
|
|
# Ациклический орграф
|
|||
|
|
**Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов
|
|||
|
|
**Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Полустепень исхода** ($deg^-(x)$) - число рёбер орграфа, выходящих из вершины x
|
|||
|
|
**Полустепень захода** ($deg^+(x)$) - число рёбер, входящих в вершину x
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Теорема о монотонной нумерации
|
|||
|
|
###### Теорема
|
|||
|
|
Для любого ациклического орграфа существует монотонная нумерация его вершин
|
|||
|
|
###### Доказательство
|
|||
|
|
Присваиваются номера вершинам в порядке возрастания, $1, \dots, k$, таким образом уже частичная нумерация монотонна
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Выбирается какой-то ориентированный путь P наибольшей длины, проходящий только через вершины, ещё не имеющие номеров. Начальная вершина - $\alpha$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $\exists$ вершина b так, что $(b,a) \in E$ , тогда вершина
|
|||
|
|
- не принадлежит P, иначе цикл
|
|||
|
|
- имеет номер, иначе есть путь больше P
|