University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md

# Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье.

## Введение
Тригонометрический **ряд Фурье** — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. 

## Тригонометрический ряд Фурье
Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$, где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.

## Коэффициенты Фурье
Коэффициенты Фурье $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)dx$
$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)dx$

### Пример
Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.

Вычислим коэффициенты Фурье:
$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x dx = 0$
$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \cos(nx) dx = 0$
$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac {2(-1)^{n+1}} n$

Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$

## Достаточное условие разложимости в ряд Фурье

### Теорема
Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале $[-\pi,\pi]$. Тогда $f(x)$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.

### Доказательство
Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция $f(x)$ кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале $[-\pi,\pi]$, то её ряд Фурье сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.

## Примеры
1. **Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
	Вычислим коэффициенты Фурье:
	$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$
	$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
	$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \sin(nx) dx = 0$
	
	Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$

2. **Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
	Вычислим коэффициенты Фурье:
	$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 dx = \frac{2\pi^2} 3$
	$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \cos(nx) dx = \frac{4(-1)^n}{n^2}$
	$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \sin(nx) dx = 0$
	
	Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид: $f(x) = \frac{\pi^2} 3 + 4 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$