University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md

# Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость

## Гармонический ряд
**Гармонический ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ ^ab323a

### Сходимость гармонического ряда
Гармонический ряд *расходится*. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак.  ^e432ca

Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: $S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k$
Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как $S_n \approx \ln(n) + \gamma$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда.

## Обобщенный гармонический ряд
**Обобщенный гармонический ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p$ — положительное число. ^e8e233

### Сходимость обобщенного гармонического ряда
Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$:
- Если $p > 1$, то ряд сходится. ^5262f4
- Если $p \leq 1$, то ряд расходится.

Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$
- Для $p > 1$:
	$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$
- Для $p \leq 1$:
	$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$ *расходится*.
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.

## Примеры
1. **Гармонический ряд**:
	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ *расходится*
2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**:
	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ *сходится*, так как $p = 2 > 1$.
3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**:
	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ *расходится*, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.