University-notes/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md

Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.

Суперпозиция функций

• Суперпозиция функции из множества A -
  1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A
  2. функция, которая может быть получена из A операциями переименования переменных и подстановки
• Полная система функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции

Операции над функциями

1. Переименование переменных - переменным даются новые имена f(x_1, x_2, \dots, x_n) \rightarrow f(y_1, y_2, \dots, y_n) Отождествление переменных - разные переменные получают одно имя (x_1 = x_2 = z)
2. Подстановка - вместо переменной подставляется функция f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)

Замыкание системы функций

• Замыкание множества А ([A]) -
  1. множество всех суперпозиций функция из A
  2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А
• Замкнутый класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = [A])

Свойства замыкания

• A \subseteq [A]
• [[A]] = [A]
• Если A \subseteq B, то [A] \subseteq [B]

Полная система функций

P_2 - класс всех логических функций Полная система функций -

1. множество функций, где любая функция является суперпозицией функций из этого множества
2. множество A, что [A] = P_2

Теорема сведения

Теорема

Пусть A и B - множества функций. A - полная система и каждая функция из A - суперпозиция функций из B. Тогда B - тоже полная система

Доказательство

Если A - суперпозиция функций из B, то A \subseteq [B]. По свойству замыкания, [A] \subseteq [B]. Т.к. A - полная система, то [A] = P_2 \Rightarrow P_2 \subseteq [B]

P_2 состоит из всех лог. функций, значит [B] \subseteq P_2 \Rightarrow P_2 = [B], что значит, что B - полная система