154 lines
6.3 KiB
Markdown
154 lines
6.3 KiB
Markdown
>ДУ в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
|
||
|
||
1. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
|
||
|
||
Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида
|
||
|
||
$$
|
||
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \tag{1}
|
||
$$
|
||
|
||
называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если существует функция $u(x, y)$, такая что
|
||
|
||
$$
|
||
du = M(x, y) dx + N(x, y) dy \tag{2}
|
||
$$
|
||
|
||
Функция $u(x, y)$ в этом случае называется первообразной дифференциального уравнения (1).
|
||
|
||
2. Необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах
|
||
|
||
Теорема. Для того, чтобы дифференциальное уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \tag{3}
|
||
$$
|
||
|
||
Это условие называется условием интегрируемости дифференциального уравнения (1).
|
||
|
||
3. Восстановление функции по ее полному дифференциалу
|
||
|
||
Если дифференциальное уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно решить, восстановив функцию $u(x, y)$ по ее полному дифференциалу (2). Для этого необходимо:
|
||
|
||
- Вычислить частные производные $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}$ из уравнения (2):
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y} = N(x, y)
|
||
$$
|
||
|
||
- Интегрировать одну из этих частных производных по соответствующей переменной, считая другую переменную постоянной. Например, интегрируем $\frac{\partial u}{\partial x}$ по $x$:
|
||
|
||
$$
|
||
u(x, y) = \int M(x, y) dx + \varphi(y)
|
||
$$
|
||
|
||
Здесь $\varphi(y)$ - произвольная функция от $y$, которая появляется при интегрировании по $x$.
|
||
|
||
- Найти производную $u(x, y)$ по другой переменной ($\frac{\partial u}{\partial y}$) и сравнить ее с $N(x, y)$:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x, y) dx \right) + \varphi'(y) = N(x, y)
|
||
$$
|
||
|
||
- Из последнего равенства определить функцию $\varphi(y)$ и подставить ее в выражение для $u(x, y)$.
|
||
|
||
4. Примеры решения ДУ в полных дифференциалах
|
||
|
||
Рассмотрим несколько примеров решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.
|
||
|
||
Пример 1. Решить уравнение:
|
||
$$
|
||
(2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy = 0 \tag{4}
|
||
$$
|
||
|
||
Решение. Проверим условие интегрируемости (3):
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy + y^2) = 2x + 2y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 2xy) = 2x + 2y
|
||
$$
|
||
|
||
Условие интегрируемости выполняется, значит, уравнение (4) является уравнением в полных дифференциалах. Восстановим функцию $u(x, y)$ по ее полному дифференциалу:
|
||
|
||
$$
|
||
du = (2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy
|
||
$$
|
||
|
||
Найдем частные производные $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}$:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy + y^2, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy
|
||
$$
|
||
|
||
Интегрируем $\frac{\partial u}{\partial x}$ по $x$:
|
||
|
||
$$
|
||
u(x, y) = \int (2xy + y^2) dx = x^2y + xy^2 + \varphi(y)
|
||
$$
|
||
|
||
Найдем $\frac{\partial u}{\partial y}$ и сравним его с $N(x, y)$:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy + \varphi'(y) = x^2 + 2xy
|
||
$$
|
||
|
||
Отсюда находим $\varphi'(y) = 0$ и $\varphi(y) = C$, где $C$ - произвольная постоянная. Получаем функцию $u(x, y)$:
|
||
|
||
$$
|
||
u(x, y) = x^2y + xy^2 + C
|
||
$$
|
||
|
||
Общее решение уравнения (4):
|
||
|
||
$$
|
||
x^2y + xy^2 = C \tag{5}
|
||
$$
|
||
|
||
Пример 2. Решить уравнение:
|
||
$$
|
||
(ye^{xy} + 2x) dx + (xe^{xy} - 1) dy = 0 \tag{6}
|
||
$$
|
||
|
||
Решение. Проверим условие интегрируемости (3):
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (ye^{xy} + 2x) = e^{xy} + xye^{xy}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xe^{xy} - 1) = e^{xy} + xye^{xy}
|
||
$$
|
||
|
||
Условие интегрируемости выполняется, значит, уравнение (6) является уравнением в полных дифференциалах. Восстановим функцию $u(x, y)$ по ее полному дифференциалу:
|
||
|
||
$$
|
||
du = (ye^{xy} + 2x) dx + (xe^{xy} - 1) dy
|
||
$$
|
||
|
||
Найдем частные производные $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}$:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial u}{\partial x} = ye^{xy} + 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = xe^{xy} - 1
|
||
$$
|
||
|
||
Интегрируем $\frac{\partial u}{\partial x}$ по $x$:
|
||
|
||
$$
|
||
u(x, y) = \int (ye^{xy} + 2x) dx = e^{xy} + x^2 + \varphi(y)
|
||
$$
|
||
|
||
Найдем $\frac{\partial u}{\partial y}$ и сравним его с $N(x, y)$:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{\partial u}{\partial y} = xe^{xy} + \varphi'(y) = xe^{xy} - 1
|
||
$$
|
||
|
||
Отсюда находим $\varphi'(y) = -1$ и $\varphi(y) = -y + C$, где $C$ - произвольная постоянная. Получаем функцию $u(x, y)$:
|
||
|
||
$$
|
||
u(x, y) = e^{xy} + x^2 - y + C
|
||
$$
|
||
|
||
Общее решение уравнения (6):
|
||
|
||
$$
|
||
e^{xy} + x^2 - y = C \tag{7}
|
||
$$
|
||
|
||
|