78 lines
2.3 KiB
Markdown
78 lines
2.3 KiB
Markdown
>ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными: понятие, метод интегрирования.
|
||
|
||
Определение:
|
||
|
||
Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
|
||
|
||
$$
|
||
y' = f(x)g(y)
|
||
$$
|
||
|
||
где $f(x)$ и $g(y)$ - некоторые функции от переменных $x$ и $y$ соответственно.
|
||
|
||
Метод интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными состоит в следующем:
|
||
|
||
1. Разделим обе части уравнения на $g(y)$:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{y'}{g(y)} = f(x)
|
||
$$
|
||
|
||
2. Интегрируем обе части уравнения по переменной $x$:
|
||
|
||
$$
|
||
\int \frac{y'}{g(y)} dx = \int f(x) dx + C
|
||
$$
|
||
|
||
где $C$ - произвольная постоянная.
|
||
|
||
3. Заменим $y'$ на $dy/dx$ и проинтегрируем левую часть уравнения по переменной $y$:
|
||
|
||
$$
|
||
\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C
|
||
$$
|
||
|
||
4. Найдем решение уравнения относительно $y$.
|
||
|
||
Пример:
|
||
|
||
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:
|
||
|
||
$$
|
||
y' = \frac{x}{y}
|
||
$$
|
||
|
||
Это уравнение имеет вид $y' = f(x)g(y)$, где $f(x) = x$, $g(y) = 1/y$. Следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными.
|
||
|
||
Решим это уравнение методом интегрирования:
|
||
|
||
1. Разделим обе части уравнения на $g(y)$:
|
||
|
||
$$
|
||
y'y = x
|
||
$$
|
||
|
||
2. Интегрируем обе части уравнения по переменной $x$:
|
||
|
||
$$
|
||
\int y'y dx = \int x dx + C
|
||
$$
|
||
|
||
3. Заменим $y'$ на $dy/dx$ и проинтегрируем левую часть уравнения по переменной $y$:
|
||
|
||
$$
|
||
\int y dy = \int x dx + C
|
||
$$
|
||
|
||
4. Найдем решение уравнения относительно $y$:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
y = \pm \sqrt{x^2 + 2C}
|
||
$$
|
||
|
||
Ответ: Решение нашего дифференциального уравнения имеет вид $y = \pm \sqrt{x^2 + 2C}$.
|