118 lines
4.2 KiB
Markdown
118 lines
4.2 KiB
Markdown
>Понятие обыкновенного ДУ, порядок ДУ, решение ДУ.
|
||
|
||
Определение:
|
||
|
||
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение, содержащее неизвестную функцию одной переменной и ее производные. ОДУ записывается в виде равенства двух выражений, содержащих неизвестную функцию и ее производные.
|
||
|
||
>Пусть $y = y(x)$ - неизвестная функция одной переменной $x$. Тогда обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:
|
||
>$$
|
||
>F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0
|
||
>$$
|
||
>где $F$ - некоторая функция от $x, y, y', y'', ..., y^{(n)}$, $y'$ - первая производная функции $y$ по переменной $x$, $y''$ - вторая производная функции $y$ по переменной $x$, ..., $y^{(n)}$ - $n$-я производная функции $y$ по переменной $x$.
|
||
|
||
Порядком ОДУ называется наибольший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.
|
||
>Порядком ОДУ называется наибольший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, т.е. $n$.
|
||
|
||
Решением ОДУ называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале.
|
||
|
||
>Решением ОДУ называется любая функция $\phi(x)$, удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале, т.е. такая, что:
|
||
>$$
|
||
>F(x, \phi(x), \phi'(x), \phi''(x), ..., \phi^{(n)}(x)) = 0
|
||
>$$
|
||
>для всех $x$ из некоторого интервала.
|
||
|
||
Изоклинами называются кривые на фазовой плоскости $(x, y)$, соответствующие решениям ОДУ с постоянным значением производной $y'$. Изоклины позволяют визуализировать поведение решений ОДУ и определить их свойства.
|
||
|
||
Примеры:
|
||
|
||
1. Найти решение ОДУ первого порядка:
|
||
|
||
$$
|
||
y' + 2y = 0
|
||
$$
|
||
|
||
Решение:
|
||
|
||
Разделим обе части уравнения на $e^{2x}$:
|
||
|
||
$$
|
||
\frac{y'}{e^{2x}} + \frac{2y}{e^{2x}} = 0
|
||
$$
|
||
|
||
Заметим, что левая часть уравнения является производной функции $ye^{-2x}$:
|
||
|
||
$$
|
||
(ye^{-2x})' = 0
|
||
$$
|
||
|
||
Интегрируем обе части уравнения:
|
||
|
||
$$
|
||
ye^{-2x} = C
|
||
$$
|
||
|
||
где $C$ - произвольная постоянная.
|
||
|
||
Решение ОДУ:
|
||
|
||
$$
|
||
y = Ce^{2x}
|
||
$$
|
||
|
||
Ответ: Общее решение ОДУ $y' + 2y = 0$ имеет вид $y = Ce^{2x}$.
|
||
|
||
2. Найти решение ОДУ второго порядка:
|
||
|
||
$$
|
||
y'' - 3y' + 2y = 0
|
||
$$
|
||
|
||
Решение:
|
||
|
||
Найдем характеристический многочлен уравнения:
|
||
|
||
$$
|
||
\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0
|
||
$$
|
||
|
||
Найдем корни характеристического многочлена:
|
||
|
||
$$
|
||
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2
|
||
$$
|
||
|
||
Так как корни характеристического многочлена различны, то общее решение ОДУ имеет вид:
|
||
|
||
$$
|
||
y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} = C_1e^{x} + C_2e^{2x}
|
||
$$
|
||
|
||
где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.
|
||
|
||
Ответ: Общее решение ОДУ $y'' - 3y' + 2y = 0$ имеет вид $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$.
|
||
|
||
3. Найти изоклины ОДУ первого порядка:
|
||
|
||
$$
|
||
y' = x - y
|
||
$$
|
||
|
||
Решение:
|
||
|
||
Запишем уравнение изоклин:
|
||
|
||
$$
|
||
y' = C
|
||
$$
|
||
|
||
где $C$ - произвольная постоянная.
|
||
|
||
Решим это уравнение относительно $y$:
|
||
|
||
$$
|
||
y = x - C
|
||
$$
|
||
|
||
Ответ: Изоклины ОДУ $y' = x - y$ имеют вид $y = x - C$.
|
||
|