University-notes/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md

Покомпонентный порядок. Монотонные функции. Замкнутость класса 𝑀. Лемма о немонотонной функции

Покомпонентный порядок

Покомпонентно меньше или равно (\preceq) - a \preceq b \Leftrightarrow \forall i \in \overline{1..n}: a_i \le b_i - отношение порядка (рефлексивно, антисимметрично и транзитивно)

Диаграмма Хассе упорядоченного множества наборов длины 3 по отношению \preceq.

flowchart TD
    1,1,1 --> 0,1,1
	1,1,1 --> 1,0,1
	1,1,1 --> 1,1,0
	
	1,1,0 --> 1,0,0
	1,0,1 --> 1,0,0 --> 0,0,0
	
	1,1,0 --> 0,1,0
	0,1,1 --> 0,1,0 --> 0,0,0
	
	1,0,1 --> 0,0,1
	0,1,1 --> 0,0,1 --> 0,0,0

Монотонные функции

Монотонная функция (класс М) - f(x_1, x_2, \dots, x_n), если f(\tilde a) \le f(\tilde b) для любых \tilde a \preceq \tilde b

Замкнутость класса 𝑀

Теорема

Класс M замкнут

Доказательство

Пусть f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in M и g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in M Рассмотрим h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n) Тогда h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))

Возьмём 2 набора значений переменных функции h: (\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) и (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m) такие, что (\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) \preceq (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)

Обозначим \gamma^` = g(\beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m), \gamma^{``} = g(\beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)

Тогда y^` \le y^{``} и (\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) \preceq (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``}), а раз f \in M, f(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) \le f(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})

Заметим, что h(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) = f(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) h(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m) = f(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})

Т.е. h(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) \le h(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m) Так что h \in M

Лемма о немонотонной функции

Лемма

Если функция 𝑓 немонотонна, то функция \bar 𝑥 является суперпозицией функций f, 0 и 1. То есть если f \notin M, то \bar x \in [\{f, 0, 1\}].

Доказательство

Пусть f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin M. Тогда существуют такие наборы значений переменных \tilde\alpha и \tilde\beta, что \tilde\alpha \prec^* \tilde\beta (соседние) и f(\tilde\alpha) > f(\tilde\beta) (Т.е. f(\tilde\alpha) = 1 и f(\tilde\beta) = 0)

Т.к. \tilde\alpha \prec^* \tilde\beta, то \tilde\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 0, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) \tilde\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 1, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)

Введём функцию h(x) = f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, x, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) h(0) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 0, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) = f(\tilde\alpha) = 1 h(1) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 1, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) = f(\tilde\alpha) = 0

Следовательно, h(x) = \bar x