4.4 KiB
Формула Стокса
Формулировка теоремы Стокса
Пусть S — ориентированная поверхность в трёхмерном пространстве, ограниченная замкнутой кривой C, и пусть \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определённое на S и C. Тогда:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,
где \nabla\times\mathbf{F} — ротор векторного поля \mathbf{F}, а \mathbf{n} — единичный вектор нормали к поверхности S.
Доказательство теоремы Стокса
Доказательство теоремы Стокса основано на применении теоремы Грина и свойств ротора векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы о циркуляции векторного поля и теоремы о потоке векторного поля через замкнутую кривую.
Применение теоремы Стокса
Теорема Стокса имеет множество приложений в физике и математике. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1: Вычисление циркуляции векторного поля
Рассмотрим векторное поле \mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k} и замкнутую кривую C, параметризованную как (x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t) для t \in [0, 2\pi]. Поверхность S — это диск, ограниченный этой кривой.
Сначала вычислим ротор векторного поля:
\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\y&x&z\end{matrix}\right|=\mathbf{i}(0-0)-\mathbf{j}(0-1)+\mathbf{k}(1-1)=-\mathbf{j}.
Теперь применим теорему Стокса:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\mathbf{n}\,dS.
Единичный вектор нормали \mathbf{n} к поверхности S можно вычислить как:
\mathbf{n}=\frac{\nabla(z-x^2-y^2)}{|\nabla(z-x^2-y^2)|}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.
Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла:
\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\frac{(-2y)\mathbf{j}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS=\iint_{S}\frac{2y}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS.
Вычислим этот интеграл:
\iint_{S}\frac{2y}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS.
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
Пример 2: Вычисление потока векторного поля
Рассмотрим векторное поле \mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} и замкнутую кривую C, параметризованную как (x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t) для t \in [0, 2\pi]. Поверхность S — это диск, ограниченный этой кривой.
Сначала вычислим ротор векторного поля:
\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\x&y&z\end{matrix}\right|=\mathbf{i}(0-0)-\mathbf{j}(0-0)+\mathbf{k}(1-1)=0.
Теперь применим теорему Стокса:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}0\cdot\mathbf{n}\,dS=0.
Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутой кривой равна нулю.