2.8 KiB
Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.
Формула Грина
Формула Грина утверждает, что для гладкой замкнутой кривой C, ограничивающей область D на плоскости xy, и для непрерывно дифференцируемых функций P(x, y) и Q(x, y), определённых на D, выполняется равенство:
\oint_{C}(P\,dx+Q\,dy)=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Доказательство формулы Грина
Доказательство формулы Грина основано на теореме о потоке векторного поля через замкнутую кривую и теореме о циркуляции векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы Стокса и свойств дифференцируемых функций.
Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла
Для вычисления площади плоской фигуры D, ограниченной замкнутой кривой C, можно использовать формулу Грина. Площадь A фигуры D можно вычислить с помощью криволинейного интеграла:
A=\frac{1}{2}\oint_{C}(x\,dy-y\,dx).
Пример
Рассмотрим пример вычисления площади круга радиуса R, центрированного в начале координат. Круг можно параметризовать как (x(t), y(t)) = (R\cos t, R\sin t) для t \in [0, 2\pi]. Тогда криволинейный интеграл для вычисления площади будет:
A=\frac{1}{2}\oint_{C}(x\,dy-y\,dx)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(R\cos t\frac{dy}{dt}-R\sin t\frac{dx}{dt})\,dt.
Вычислим производные:
\frac{dx}{dt}=-R\sin t,
\frac{dy}{dt}=R\cos t.
Подставим их в интеграл:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(R\cos t\cdot R\cos t-R\sin t\cdot(-R\sin t))\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(R^2\cos^2t+R^2\sin^2t)\,dt.
Упростим интеграл:
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}R^2\,dt=\frac{R^2}{2}\int_{0}^{2\pi}dt=\frac{R^2}{2}\cdot2\pi=\pi R^2.
Таким образом, площадь круга равна \pi R^2, что соответствует известной формуле для площади круга.