4.2 KiB
Физические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление массы, координат центра тяжести, статических моментов тела в пространстве и плоской пластинки, моментов инерции тела в пространстве.
Вычисление массы
Масса тела V с плотностью \rho(x, y, z) можно вычислить с помощью тройного интеграла:
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Пример
Рассмотрим пример вычисления массы тела, заданного уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат, с плотностью \rho(x, y, z) = z. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда масса тела можно вычислить как:
M=\iiint_{V}z\,dV=\iint_{D}\left(\int_{0}^{x^2+y^2}z\,dz\right)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\int_{0}^{r^2}z\,dz\right)r\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{r^2}z\,dz=\left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{r^2}=\frac{r^4}{2}.
Теперь вычислим следующий интеграл:
\int_{0}^{R}\frac{r^4}{2}r\,dr=\left[\frac{r^6}{12}\right]_{0}^{R}=\frac{R^6}{12}.
И, наконец, вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{R^6}{12}\,d\theta=\frac{R^6}{12}\cdot2\pi=\frac{\pi R^6}{6}.
Таким образом, масса тела равна \frac{\pi R^6}{6}.
Вычисление координат центра тяжести
Координаты центра тяжести тела V с плотностью \rho(x, y, z) можно вычислить с помощью тройных интегралов:
x_c=\frac{\iiint_{V}x\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV},
y_c=\frac{\iiint_{V}y\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV},
z_c=\frac{\iiint_{V}z\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV}.
Вычисление статических моментов
Статические моменты тела V относительно плоскостей xy, xz и yz можно вычислить с помощью тройных интегралов:
M_{xy}=\iiint_{V}z\rho(x,y,z)\,dV,
M_{xz}=\iiint_{V}y\rho(x,y,z)\,dV,
M_{yz}=\iiint_{V}x\rho(x,y,z)\,dV.
Вычисление моментов инерции
Моменты инерции тела V относительно осей x, y и z можно вычислить с помощью тройных интегралов:
I_x=\iiint_{V}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dV,
I_y=\iiint_{V}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dV,
I_z=\iiint_{V}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV.
Пример
Рассмотрим пример вычисления момента инерции тела, заданного уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат, с плотностью \rho(x, y, z) = 1. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда момент инерции относительно оси z можно вычислить как:
I_z=\iiint_{V}(x^2+y^2)\,dV=\iint_{D}\left(\int_{0}^{x^2+y^2}(x^2+y^2)\,dz\right)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\int_{0}^{r^2}r^2\,dz\right)r\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{r^2}r^2\,dz=r^2\left[z\right]_{0}^{r^2}=r^4.
Теперь вычислим следующий интеграл:
\int_{0}^{R}r^4r\,dr=\left[\frac{r^6}{6}\right]_{0}^{R}=\frac{R^6}{6}.
И, наконец, вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{R^6}{6}\,d\theta=\frac{R^6}{6}\cdot2\pi=\frac{\pi R^6}{3}.
Таким образом, момент инерции тела относительно оси z равен \frac{\pi R^6}{3}.