4.1 KiB
Двойственная функция. Принцип двойственности. Самодвойственные функции. Замкнутость класса 𝑆. Лемма о несамодвойственной функции
Двойственная функция
Двойственная функция f^* - f^*(x_1, x_2, \dots, x_n) = \overline{f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_n})}
(f^*)^* = f
Примеры:
0^* = 1x^* = x\bar x^* = \bar x(xy)^* = x \vee y(x \oplus y)^* = x \equiv y(x|y)^* = x \downarrow y(x \rightarrow y)^* = y > x
Принцип двойственности
Теорема
Пусть f(x_1, x_2, \dots, x_n) и g(y_1, y_2, \dots, y_m) - логические функции и h = f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)
Тогда h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)
Доказательство
НУО k = n: h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))
По определению двойственности, h^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = \overline{h(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, \overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m})} = \overline{f(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}))}
g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}) = \overline{g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)}, поэтому h^* = \overline{f\left(\overline{x_1}, \overline{x_2}, \dots, \overline{x_{n-1}}, \overline{g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)}\right)} = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m))
Следствие
Пусть функция 𝑓 представлена некоторой формулой/схемой. Чтобы получить формулу/схему, представляющую функцию
𝑓^∗, нужно заменить в формуле все операции и константы / функциональные элементы на двойственные им.
Самодвойственные функции
Самодвойственная функция (класс S) - f(x_1, x_2, \dots, x_n) = f^*(x_1, x_2, \dots, x_n)
Не существует самодвойственных функций, существенно зависящих от 2х переменных
Замкнутость класса 𝑆
Теорема
Класс S замкнут
Доказательство
Пусть f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in S и g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in S
Рассмотрим h(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))
Из принципа двойственности, h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m)) = h, следовательно, h \in S
Лемма о несамодвойственной функции
Если функция f несамодвойственна, то константы являются суперпозицией функций f и \bar x. Т.е. если f \notin S, то {0,1} \subseteq [\{f, \bar x\}]
Доказательство
Пусть f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin S. Тогда существует такой набор (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n), что f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c \in \{0,1\} (1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной)
h(x) = f(x^{\alpha_1}, x^{\alpha_2}, \dots, x^{\alpha_n})
h(0) = f(0^{\alpha_1}, 0^{\alpha_2}, \dots, 0^{\alpha_n}) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c
h(1) = f(1^{\alpha_1}, 1^{\alpha_2}, \dots, 1^{\alpha_n}) = f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = c
Следовательно, h(x) = c, \overline{h(x)} = \bar c