6.3 KiB
ДУ в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
- Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \tag{1}
называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если существует функция u(x, y)
, такая что
du = M(x, y) dx + N(x, y) dy \tag{2}
Функция u(x, y)
в этом случае называется первообразной дифференциального уравнения (1).
- Необходимое и достаточное условие уравнения в полных дифференциалах
Теорема. Для того, чтобы дифференциальное уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \tag{3}
Это условие называется условием интегрируемости дифференциального уравнения (1).
- Восстановление функции по ее полному дифференциалу
Если дифференциальное уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно решить, восстановив функцию u(x, y)
по ее полному дифференциалу (2). Для этого необходимо:
- Вычислить частные производные
\frac{\partial u}{\partial x}
и\frac{\partial u}{\partial y}
из уравнения (2):
\frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y} = N(x, y)
- Интегрировать одну из этих частных производных по соответствующей переменной, считая другую переменную постоянной. Например, интегрируем
\frac{\partial u}{\partial x}
поx
:
u(x, y) = \int M(x, y) dx + \varphi(y)
Здесь \varphi(y)
- произвольная функция от y
, которая появляется при интегрировании по x
.
- Найти производную
u(x, y)
по другой переменной (\frac{\partial u}{\partial y}
) и сравнить ее сN(x, y)
:
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \int M(x, y) dx \right) + \varphi'(y) = N(x, y)
- Из последнего равенства определить функцию
\varphi(y)
и подставить ее в выражение дляu(x, y)
.
- Примеры решения ДУ в полных дифференциалах
Рассмотрим несколько примеров решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.
Пример 1. Решить уравнение:
(2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy = 0 \tag{4}
Решение. Проверим условие интегрируемости (3):
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy + y^2) = 2x + 2y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 2xy) = 2x + 2y
Условие интегрируемости выполняется, значит, уравнение (4) является уравнением в полных дифференциалах. Восстановим функцию u(x, y)
по ее полному дифференциалу:
du = (2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy
Найдем частные производные \frac{\partial u}{\partial x}
и \frac{\partial u}{\partial y}
:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy + y^2, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy
Интегрируем \frac{\partial u}{\partial x}
по x
:
u(x, y) = \int (2xy + y^2) dx = x^2y + xy^2 + \varphi(y)
Найдем \frac{\partial u}{\partial y}
и сравним его с N(x, y)
:
\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 + 2xy + \varphi'(y) = x^2 + 2xy
Отсюда находим \varphi'(y) = 0
и \varphi(y) = C
, где C
- произвольная постоянная. Получаем функцию u(x, y)
:
u(x, y) = x^2y + xy^2 + C
Общее решение уравнения (4):
x^2y + xy^2 = C \tag{5}
Пример 2. Решить уравнение:
(ye^{xy} + 2x) dx + (xe^{xy} - 1) dy = 0 \tag{6}
Решение. Проверим условие интегрируемости (3):
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (ye^{xy} + 2x) = e^{xy} + xye^{xy}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (xe^{xy} - 1) = e^{xy} + xye^{xy}
Условие интегрируемости выполняется, значит, уравнение (6) является уравнением в полных дифференциалах. Восстановим функцию u(x, y)
по ее полному дифференциалу:
du = (ye^{xy} + 2x) dx + (xe^{xy} - 1) dy
Найдем частные производные \frac{\partial u}{\partial x}
и \frac{\partial u}{\partial y}
:
\frac{\partial u}{\partial x} = ye^{xy} + 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = xe^{xy} - 1
Интегрируем \frac{\partial u}{\partial x}
по x
:
u(x, y) = \int (ye^{xy} + 2x) dx = e^{xy} + x^2 + \varphi(y)
Найдем \frac{\partial u}{\partial y}
и сравним его с N(x, y)
:
\frac{\partial u}{\partial y} = xe^{xy} + \varphi'(y) = xe^{xy} - 1
Отсюда находим \varphi'(y) = -1
и \varphi(y) = -y + C
, где C
- произвольная постоянная. Получаем функцию u(x, y)
:
u(x, y) = e^{xy} + x^2 - y + C
Общее решение уравнения (6):
e^{xy} + x^2 - y = C \tag{7}