University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/6.md

Линейные ДУ 1-го порядка. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Метод интегрирования линейного неоднородного уравнения (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной).

1. Линейные ДУ 1-го порядка

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид:

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \tag{1}

где y = y(x) - неизвестная функция, x - независимая переменная, P(x) и Q(x) - непрерывные функции на некотором интервале (a, b).

2. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (решения с нулевым правой частью) и одного частного решения неоднородного уравнения:

y(x) = y_0(x) + y_p(x) \tag{2}

где y_0(x) - общее решение однородного уравнения \frac{dy}{dx} + P(x)y = 0, а y_p(x) - частное решение неоднородного уравнения (1).

3. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (1) можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольной постоянной. Этот метод заключается в следующем:

• Найти общее решение однородного уравнения y_0(x) = C \cdot e^{-\int P(x) dx}, где C - произвольная постоянная.

• Предположить, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p(x) = C(x) \cdot e^{-\int P(x) dx}, где C(x) - некоторая функция от x.

• Найти функцию C(x), подставляя y_p(x) в уравнение (1) и решая полученное дифференциальное уравнение относительно C(x).

• Найти частное решение y_p(x) и построить общее решение неоднородного уравнения (1) по формуле (2).

4. Примеры решения линейных неоднородных ДУ 1-го порядка

Рассмотрим несколько примеров решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с помощью метода Лагранжа вариации произвольной постоянной.

Пример 1. Решить уравнение:

\frac{dy}{dx} + y = e^x \tag{3}

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения \frac{dy}{dx} + y = 0:

y_0(x) = C \cdot e^{-\int dx} = C \cdot e^{-x}

Предположим, что частное решение неоднородного уравнения (3) имеет вид y_p(x) = C(x) \cdot e^{-x}. Подставим это выражение в уравнение (3):

-C(x)e^{-x} + C'(x)e^{-x} + C(x)e^{-x} = e^x

Отсюда находим C'(x):

C'(x) = e^{2x}

Интегрируя эту функцию, получим C(x):

C(x) = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1

Найдем частное решение y_p(x):

y_p(x) = C(x) \cdot e^{-x} = \frac{1}{2}e^x

Общее решение уравнения (3):

y(x) = y_0(x) + y_p(x) = C \cdot e^{-x} + \frac{1}{2}e^x \tag{4}

Пример 2. Решить уравнение:

\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^3 \tag{5}

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения \frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = 0:

y_0(x) = C \cdot e^{\int \frac{2}{x} dx} = C \cdot x^2

Предположим, что частное решение неоднородного уравнения (5) имеет вид y_p(x) = C(x) \cdot x^2. Подставим это выражение в уравнение (5):

2C(x)x + C'(x)x^2 - 2C(x)x = x^3

Отсюда находим C'(x):

C'(x) = x

Интегрируя эту функцию, получим C(x):

C(x) = \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1

Найдем частное решение y_p(x):

y_p(x) = C(x) \cdot x^2 = \frac{1}{2}x^4

Общее решение уравнения (5):

y(x) = y_0(x) + y_p(x) = C \cdot x^2 + \frac{1}{2}x^4 \tag{6}