University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/9.md

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, метод Эйлера, характеристическое уравнение, построение фундаментальной системы решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения

1. Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

a y''(x) + b y'(x) + c y(x) = 0 \tag{1}

где a, b, c - постоянные коэффициенты, a \neq 0, y = y(x) - неизвестная функция, x - независимая переменная, y' и y'' - первая и вторая производные функции y(x) по переменной x.

2. Метод Эйлера и характеристическое уравнение

Для решения уравнения (1) можно воспользоваться методом Эйлера. Этот метод основан на поиске решения уравнения (1) в виде экспоненциальной функции:

y(x) = e^{rx} \tag{2}

где r - некоторый постоянный коэффициент. Подставим функцию (2) в уравнение (1):

a r^2 e^{rx} + b r e^{rx} + c e^{rx} = 0

Отсюда получаем характеристическое уравнение:

a r^2 + b r + c = 0 \tag{3}

Это квадратное уравнение относительно r. Найдем его корни r_1 и r_2.

3. Построение фундаментальной системы решений

Рассмотрим три возможных случая корней характеристического уравнения (3):

• Корни r_1 и r_2 вещественные и различные. В этом случае фундаментальной системой решений уравнения (1) будут функции:

y_1(x) = e^{r_1 x}, \quad y_2(x) = e^{r_2 x}

• Корни r_1 и r_2 вещественные и совпадающие (r_1 = r_2 = r). В этом случае фундаментальной системой решений уравнения (1) будут функции:

y_1(x) = e^{r x}, \quad y_2(x) = x e^{r x}

• Корни r_1 и r_2 комплексные сопряженные (r_1 = \alpha + i \beta, r_2 = \alpha - i \beta). В этом случае фундаментальной системой решений уравнения (1) будут функции:

y_1(x) = e^{\alpha x} \cos(\beta x), \quad y_2(x) = e^{\alpha x} \sin(\beta x)

4. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения

Теорема. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы:

y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \tag{4}

где C_1 и C_2 - произвольные постоянные.

5. Примеры решения линейных однородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим несколько примеров решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 1. Решить уравнение:

y'' - 3y' + 2y = 0

Решение. Найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 3r + 2 = 0

Найдем корни этого уравнения:

r_1 = 1, \quad r_2 = 2

Фундаментальная система решений:

y_1(x) = e^{x}, \quad y_2(x) = e^{2x}

Общее решение уравнения:

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}

Пример 2. Решить уравнение:

y'' + 4y' + 4y = 0

Решение. Найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 4r + 4 = 0

Найдем корни этого уравнения:

r_1 = r_2 = -2

Фундаментальная система решений:

y_1(x) = e^{-2x}, \quad y_2(x) = x e^{-2x}

Общее решение уравнения:

y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x}

Пример 3. Решить уравнение:

y'' + y = 0

Решение. Найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 1 = 0

Найдем корни этого уравнения:

r_1 = i, \quad r_2 = -i

Фундаментальная система решений:

y_1(x) = \cos(x), \quad y_2(x) = \sin(x)

Общее решение уравнения:

y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)