University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/35.md

Криволинейные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

Определение криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл второго рода векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} по кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) для t \in [a, b], определяется как:

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz,

где d\mathbf{r} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right)dt — вектор элементарного смещения вдоль кривой C.

Теорема существования криволинейного интеграла второго рода

Теорема существования криволинейного интеграла второго рода утверждает, что если компоненты векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) непрерывны на кривой C, то криволинейный интеграл \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} существует.

Свойства криволинейных интегралов второго рода

1. Линейность:

   • Если \mathbf{F} и \mathbf{G} — векторные поля, интегрируемые по кривой C, то для любых констант a и b:
   \int_{C}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})\cdot d\mathbf{r}=a\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}+b\int_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}.

2. Аддитивность:

   • Если кривая C состоит из двух частей C_1 и C_2, то:
   \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}+\int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

3. Обращение направления:

   • Если кривая C проходит в обратном направлении, то:
   \int_{-C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

Рассмотрим пример вычисления криволинейного интеграла второго рода векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k} по кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3) для t \in [0, 1].

Сначала вычислим производные:

\frac{dx}{dt}=1, \frac{dy}{dt}=2t, \frac{dz}{dt}=3t^2.

Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла второго рода:

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})\,dt=\int_{0}^{1}(t^2\cdot1+t\cdot2t+t^3\cdot3t^2)\,dt.

Упростим интеграл:

\int_{0}^{1}(t^2+2t^2+3t^5)\,dt=\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt.

Теперь вычислим интеграл:

\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt=\left[t^3+\frac{t^6}{2}\right]_{0}^{1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.

Таким образом, значение криволинейного интеграла второго рода равно \frac{3}{2}.