3.5 KiB
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Определение тройного интеграла
Тройной интеграл функции f(x, y, z) по области V определяется как:
\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV.
Сведение тройного интеграла к повторному
Для вычисления тройного интеграла часто удобно свести его к повторному интегралу. Рассмотрим область V, ограниченную поверхностями z=g_1(x,y) и z=g_2(x,y) над областью D на плоскости xy. Тогда тройной интеграл можно представить в виде повторного интеграла:
\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\iint_{D}\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)\,dA.
Пример 1: Прямоугольный параллелепипед
Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла функции f(x, y, z) = xyz по прямоугольному параллелепипеду, ограниченному плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 и z = 1. В этом случае тройной интеграл можно свести к повторному интегралу:
\iiint_{V}xyz\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xyz\,dz\,dy\,dx.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{1}xyz\,dz=\left[\frac{xyz^2}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{xy}{2}.
Теперь вычислим следующий интеграл:
\int_{0}^{1}\frac{xy}{2}\,dy=\left[\frac{xy^2}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{x}{4}.
И, наконец, вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{1}\frac{x}{4}\,dx=\left[\frac{x^2}{8}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{8}.
Таким образом, значение тройного интеграла равно \frac{1}{8}.
Пример 2: Область, ограниченная поверхностями
Рассмотрим область V, ограниченную поверхностями z = x^2 + y^2 и z = 1 над кругом радиуса 1 на плоскости xy. Функция f(x, y, z) = z. Тройной интеграл можно свести к повторному интегралу:
\iiint_{V}z\,dV=\iint_{D}\left(\int_{x^2+y^2}^{1}z\,dz\right)\,dA.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{x^2+y^2}^{1}z\,dz=\left[\frac{z^2}{2}\right]_{x^2+y^2}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{(x^2+y^2)^2}{2}.
Теперь вычислим двойной интеграл в полярных координатах (r, \theta), где x = r\cos\theta и y = r\sin\theta:
\iint_{D}\left(\frac{1}{2}-\frac{(x^2+y^2)^2}{2}\right)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}-\frac{r^4}{2}\right)r\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}-\frac{r^4}{2}\right)r\,dr=\int_{0}^{1}\left(\frac{r}{2}-\frac{r^5}{2}\right)\,dr=\left[\frac{r^2}{4}-\frac{r^6}{12}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}.
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{6}\,d\theta=\frac{1}{6}\cdot2\pi=\frac{\pi}{3}.
Таким образом, значение тройного интеграла равно \frac{\pi}{3}.