University-notes/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md

Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.

Алгебра Жегалкина

- алгебраическая система для описания логических функций

1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2
2. Нет отрицания
3. <\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}> - поле наименьшего размера

Свойства \oplus:

• x\oplus 0 = x
• x \oplus x = 0, x \oplus \bar x = 1
• Коммутативность: x \oplus y = y \oplus x
• Ассоциативность: (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)
• Дистрибутивность: x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z
• Уравнение x \oplus a = b имеет единственное решение x = a \oplus b

Полином Жегалкина

1. Нет скобок
2. Нет одинаковых слагаемых
3. Одним из слагаемых может быть 1
4. 0 - полином, но не слагаемое

Единственность полинома Жегалкина

Теорема.

Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.

Доказательство:

f - логическая функция P(f) - её полином

• f представляется булевой функцией (например, 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Совершенные ДНФ и КНФ)
• В формуле заменяется каждое отрицание (\bar x = x \oplus 1) и дизъюнкция (x \vee y = xy \oplus x \oplus y)
• Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон
• Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию (x \cdot x = x)
• Одинаковые слагаемые отпадают (x \oplus x = 0)

Каждое слагаемое в полиноме имеет вид x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k} или 1. Каждая конъюнкция определяется подмножеством \{i_1, i_2, \dots, i_k\} или \varnothing множества \{1, 2, \dots, n\}. Следовательно, множество всех слагаемых содержит 2^n элементов

Для составления полинома требуется выбрать одно из 2^{2^n} подмножеств множества всех возможных слагаемых - полинома от переменных x_1, x_2, \dots, x_n. Столько же и функций от таких переменных, так что для каждой функции f существует представляющий её полином, и число функций = число полиномов, поэтому P - биекция. А значит, одного полинома хватает только для одной функции