71 lines
4.2 KiB
Markdown
71 lines
4.2 KiB
Markdown
## Физические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление массы, координат центра тяжести, статических моментов тела в пространстве и плоской пластинки, моментов инерции тела в пространстве.
|
||
|
||
### Вычисление массы
|
||
|
||
Масса тела $V$ с плотностью $\rho(x, y, z)$ можно вычислить с помощью тройного интеграла:
|
||
|
||
$$M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.$$
|
||
|
||
#### Пример
|
||
|
||
Рассмотрим пример вычисления массы тела, заданного уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, с плотностью $\rho(x, y, z) = z$. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда масса тела можно вычислить как:
|
||
|
||
$$M=\iiint_{V}z\,dV=\iint_{D}\left(\int_{0}^{x^2+y^2}z\,dz\right)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\int_{0}^{r^2}z\,dz\right)r\,dr\,d\theta.$$
|
||
|
||
Вычислим внутренний интеграл:
|
||
|
||
$$\int_{0}^{r^2}z\,dz=\left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{r^2}=\frac{r^4}{2}.$$
|
||
|
||
Теперь вычислим следующий интеграл:
|
||
|
||
$$\int_{0}^{R}\frac{r^4}{2}r\,dr=\left[\frac{r^6}{12}\right]_{0}^{R}=\frac{R^6}{12}.$$
|
||
|
||
И, наконец, вычислим внешний интеграл:
|
||
|
||
$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^6}{12}\,d\theta=\frac{R^6}{12}\cdot2\pi=\frac{\pi R^6}{6}.$$
|
||
|
||
Таким образом, масса тела равна $\frac{\pi R^6}{6}$.
|
||
|
||
### Вычисление координат центра тяжести
|
||
|
||
Координаты центра тяжести тела $V$ с плотностью $\rho(x, y, z)$ можно вычислить с помощью тройных интегралов:
|
||
|
||
$$x_c=\frac{\iiint_{V}x\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV},$$
|
||
$$y_c=\frac{\iiint_{V}y\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV},$$
|
||
$$z_c=\frac{\iiint_{V}z\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV}.$$
|
||
|
||
### Вычисление статических моментов
|
||
|
||
Статические моменты тела $V$ относительно плоскостей $xy$, $xz$ и $yz$ можно вычислить с помощью тройных интегралов:
|
||
|
||
$$M_{xy}=\iiint_{V}z\rho(x,y,z)\,dV,$$
|
||
$$M_{xz}=\iiint_{V}y\rho(x,y,z)\,dV,$$
|
||
$$M_{yz}=\iiint_{V}x\rho(x,y,z)\,dV.$$
|
||
|
||
### Вычисление моментов инерции
|
||
|
||
Моменты инерции тела $V$ относительно осей $x$, $y$ и $z$ можно вычислить с помощью тройных интегралов:
|
||
|
||
$$I_x=\iiint_{V}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dV,$$
|
||
$$I_y=\iiint_{V}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dV,$$
|
||
$$I_z=\iiint_{V}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV.$$
|
||
|
||
#### Пример
|
||
|
||
Рассмотрим пример вычисления момента инерции тела, заданного уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, с плотностью $\rho(x, y, z) = 1$. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда момент инерции относительно оси $z$ можно вычислить как:
|
||
|
||
$$I_z=\iiint_{V}(x^2+y^2)\,dV=\iint_{D}\left(\int_{0}^{x^2+y^2}(x^2+y^2)\,dz\right)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\int_{0}^{r^2}r^2\,dz\right)r\,dr\,d\theta.$$
|
||
|
||
Вычислим внутренний интеграл:
|
||
|
||
$$\int_{0}^{r^2}r^2\,dz=r^2\left[z\right]_{0}^{r^2}=r^4.$$
|
||
|
||
Теперь вычислим следующий интеграл:
|
||
|
||
$$\int_{0}^{R}r^4r\,dr=\left[\frac{r^6}{6}\right]_{0}^{R}=\frac{R^6}{6}.$$
|
||
|
||
И, наконец, вычислим внешний интеграл:
|
||
|
||
$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^6}{6}\,d\theta=\frac{R^6}{6}\cdot2\pi=\frac{\pi R^6}{3}.$$
|
||
|
||
Таким образом, момент инерции тела относительно оси $z$ равен $\frac{\pi R^6}{3}$. |