3.3 KiB
Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла
1. Вычисление площади области
Одной из основных задач, приводящих к понятию двойного интеграла, является вычисление площади области D на плоскости xy. Если область D ограничена кривыми y=f(x) и y=g(x) на интервале [a,b], то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
A=\iint_{D}dA=\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.
2. Вычисление объема тела
Двойной интеграл также используется для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью z=f(x,y) и проекцией этой поверхности на плоскость xy. Если D — область на плоскости xy, то объем тела можно вычислить как:
V=\iint_{D}f(x,y)\,dA.
3. Вычисление массы пластины
Если плотность пластины \rho(x,y) задана как функция координат (x,y), то масса пластины, занимающей область D, можно вычислить с помощью двойного интеграла:
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA.
4. Вычисление центра масс пластины
Центр масс пластины с плотностью \rho(x,y) и областью D можно найти, используя двойные интегралы. Координаты центра масс (x_c,y_c) определяются как:
x_c=\frac{\iint_{D}x\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},
y_c=\frac{\iint_{D}y\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.
5. Вычисление моментов инерции
Моменты инерции пластины относительно осей x и y также можно вычислить с помощью двойных интегралов. Моменты инерции I_x и I_y определяются как:
I_x=\iint_{D}y^2\rho(x,y)\,dA,
Пример
Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью z=x^2+y^2 и проекцией этой поверхности на плоскость xy в пределах круга радиуса 1. Область D — это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В полярных координатах (r,\theta) область D описывается как 0\leq r\leq1 и 0\leq\theta\leq2\pi. Тогда объем тела можно вычислить как:
V=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2r\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{1}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta=\frac{1}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}.
Таким образом, объем тела равен \frac{\pi}{2}.