University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/5.md

Однородные ДУ 1-го порядка: понятия и метод интегрирования. Доклад: Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка: понятия и метод интегрирования

1. Определения и терминология

Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид:

\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) \tag{1}

где f - некоторая функция от переменной z = \frac{y}{x}.

Здесь y = y(x) - неизвестная функция, x - независимая переменная, \frac{dy}{dx} - производная функции y(x) по переменной x.

2. Сведение к линейному ДУ 1-го порядка

Для решения однородного ДУ 1-го порядка (1) можно воспользоваться следующим подходом: ввести новую переменную z = \frac{y}{x} и выразить y и \frac{dy}{dx} через z и x. Тогда уравнение (1) примет вид:

z + x\frac{dz}{dx} = f(z) \tag{2}

Это уравнение представляет собой линейное неоднородное ДУ 1-го порядка относительно функции z(x).

3. Метод интегрирования

Для решения линейного неоднородного ДУ 1-го порядка (2) можно воспользоваться методом интегрирующего множителя. Найдем интегрирующий множитель \mu(x) такой, что произведение \mu(x) \cdot (z + x\frac{dz}{dx}) будет полной производной некоторой функции u(x):

\mu(x) \cdot (z + x\frac{dz}{dx}) = \frac{du}{dx} \tag{3}

Интегрирующий множитель для линейного ДУ 1-го порядка имеет вид:

\mu(x) = e^{\int P(x) dx} \tag{4}

где P(x) - коэффициент при \frac{dz}{dx} в уравнении (2). В нашем случае P(x) = \frac{1}{x}, поэтому

\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x| \tag{5}

Умножим уравнение (2) на найденный интегрирующий множитель \mu(x) = x:

xz + x^2\frac{dz}{dx} = xf(z) \tag{6}

Левая часть уравнения (6) является полной производной функции u(x) = xz:

\frac{du}{dx} = x\frac{dz}{dx} + z = xf(z) \tag{7}

Теперь интегрируем обе части уравнения (7) по переменной x:

u(x) = \int xf(z) dx + C_1 \tag{8}

где C_1 - постоянная интегрирования.

4. Нахождение решения исходного ДУ

Подставляя в полученное решение (8) выражение для u(x) = xz и возвращаясь к исходной переменной y, находим общее решение исходного однородного ДУ 1-го порядка (1):

y(x) = x \cdot \left( \int f\left(\frac{y}{x}\right) dx + C_1 \right) \tag{9}

Доклад: Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка: понятия и метод интегрирования

5. Примеры решения однородных ДУ 1-го порядка

Рассмотрим несколько примеров решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка, используя метод, описанный выше.

Пример 1. Решить уравнение:

\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} \tag{10}

Решение. Заметим, что это однородное ДУ 1-го порядка. Введем новую переменную z = \frac{y}{x}:

z + x\frac{dz}{dx} = 2z

Получили линейное неоднородное ДУ 1-го порядка относительно функции z(x). Найдем интегрирующий множитель \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = |x| и умножим уравнение на него:

xz + x^2\frac{dz}{dx} = 2xz

Левая часть является полной производной функции u(x) = xz. Интегрируем обе части уравнения:

u(x) = xz = \int 2z dx + C_1

Возвращаясь к исходной переменной y, находим общее решение:

y(x) = C_1x + C_2x^2 \tag{11}

Пример 2. Решить уравнение:

\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy} \tag{12}

Решение. Это также однородное ДУ 1-го порядка. Введем новую переменную z = \frac{y}{x}:

z + x\frac{dz}{dx} = \frac{z^2 - 1}{2z}

Найдем интегрирующий множитель \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{2x} dx} = \frac{1}{\sqrt{|x|}} и умножим уравнение на него:

\sqrt{|x|}z + \sqrt{|x|}x\frac{dz}{dx} = \frac{\sqrt{|x|}(z^2 - 1)}{2z}

Левая часть является полной производной функции u(x) = \sqrt{|x|}z. Интегрируем обе части уравнения:

u(x) = \sqrt{|x|}z = \int \frac{\sqrt{|x|}(z^2 - 1)}{2z} dx + C_1

Возвращаясь к исходной переменной y, находим общее решение:

y(x) = \pm \sqrt{C_1x^2 + x^4} \tag{13}