2.3 KiB
2.3 KiB
ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными: понятие, метод интегрирования.
Определение:
Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
y' = f(x)g(y)
где f(x)
и g(y)
- некоторые функции от переменных x
и y
соответственно.
Метод интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными состоит в следующем:
- Разделим обе части уравнения на
g(y)
:
\frac{y'}{g(y)} = f(x)
- Интегрируем обе части уравнения по переменной
x
:
\int \frac{y'}{g(y)} dx = \int f(x) dx + C
где C
- произвольная постоянная.
- Заменим
y'
наdy/dx
и проинтегрируем левую часть уравнения по переменнойy
:
\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C
- Найдем решение уравнения относительно
y
.
Пример:
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:
y' = \frac{x}{y}
Это уравнение имеет вид y' = f(x)g(y)
, где f(x) = x
, g(y) = 1/y
. Следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными.
Решим это уравнение методом интегрирования:
- Разделим обе части уравнения на
g(y)
:
y'y = x
- Интегрируем обе части уравнения по переменной
x
:
\int y'y dx = \int x dx + C
- Заменим
y'
наdy/dx
и проинтегрируем левую часть уравнения по переменнойy
:
\int y dy = \int x dx + C
- Найдем решение уравнения относительно
y
:
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C
y = \pm \sqrt{x^2 + 2C}
Ответ: Решение нашего дифференциального уравнения имеет вид y = \pm \sqrt{x^2 + 2C}
.