University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/10.md

Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

1. Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

a y''(x) + b y'(x) + c y(x) = f(x) \tag{1}

где a, b, c - постоянные коэффициенты, a \neq 0, y = y(x) - неизвестная функция, x - независимая переменная, y' и y'' - первая и вторая производные функции y(x) по переменной x, f(x) - непрерывная функция на некотором интервале.

2. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (1) при f(x) \equiv 0 и одного частного решения уравнения (1):

y(x) = y_0(x) + y_p(x) \tag{2}

где y_0(x) - общее решение однородного уравнения, y_p(x) - частное решение неоднородного уравнения (1).

3. Метод вариации произвольных постоянных

Для нахождения частного решения y_p(x) неоднородного уравнения (1) можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных. Этот метод основан на следующей идее: предположим, что функция y_p(x) имеет вид:

y_p(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) \tag{3}

где y_1(x) и y_2(x) - линейно независимые решения однородного уравнения, C_1(x) и C_2(x) - некоторые дифференцируемые функции от x. Подставим функцию (3) в уравнение (1) и найдем функции C_1(x) и C_2(x).

4. Алгоритм метода вариации произвольных постоянных

• Найти фундаментальную систему решений y_1(x), y_2(x) однородного уравнения (1) при f(x) \equiv 0.

• Построить определитель Виронского W(x):

W(x) = \begin{vmatrix}
y_1(x) & y_2(x) \\
y'_1(x) & y'_2(x)
\end{vmatrix}

• Вычислить функции C_1(x) и C_2(x) по формулам:

C_1(x) = -\int \frac{y_2(x) f(x)}{W(x)} dx, \quad C_2(x) = \int \frac{y_1(x) f(x)}{W(x)} dx

• Найти частное решение y_p(x) по формуле (3) и построить общее решение y(x) по формуле (2).

5. Примеры решения линейных неоднородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим несколько примеров решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 1. Решить уравнение:

y'' + y = \sin(x)

Решение. Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения:

y_1(x) = \cos(x), \quad y_2(x) = \sin(x)

Определитель Виронского:

W(x) = \begin{vmatrix}
\cos(x) & \sin(x) \\
-\sin(x) & \cos(x)
\end{vmatrix} = 1

Функции C_1(x) и C_2(x):

C_1(x) = -\int \sin(x) \sin(x) dx = -\frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) dx = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin(2x)

C_2(x) = \int \cos(x) \sin(x) dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{4} \cos(2x)

Частное решение:

y_p(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) = -\frac{1}{2}x \cos(x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \cos(x) - \frac{1}{4} \cos(2x) \sin(x)

Общее решение:

y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) -\frac{1}{2}x \cos(x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \cos(x) - \frac{1}{4} \cos(2x) \sin(x)

Пример 2. Решить уравнение:

y'' - 3y' + 2y = e^{x}

Решение. Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения:

y_1(x) = e^{x}, \quad y_2(x) = e^{2x}

Определитель Виронского:

W(x) = \begin{vmatrix}
e^{x} & e^{2x} \\
e^{x} & 2e^{2x}
\end{vmatrix} = e^{3x}

Функции C_1(x) и C_2(x):

C_1(x) = -\int \frac{e^{2x} e^{x}}{e^{3x}} dx = -\int dx = -x

C_2(x) = \int \frac{e^{x} e^{x}}{e^{3x}} dx = \int dx = x

Частное решение:

y_p(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) = -x e^{x} + x e^{2x}

Общее решение:

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} -x e^{x} + x e^{2x}