4.4 KiB
Приложения поверхностных интегралов второго рода
Вычисление потока векторного поля через поверхность
Поток векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} через поверхность S можно вычислить с помощью поверхностного интеграла второго рода:
\Phi=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
где \mathbf{n} — единичный вектор нормали к поверхности S, а d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS — векторный элемент площади поверхности.
Пример
Рассмотрим пример вычисления потока векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} через поверхность S, заданную уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат.
Сначала найдем нормаль к поверхности:
\mathbf{n}=\frac{\nabla(z-x^2-y^2)}{|\nabla(z-x^2-y^2)|}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.
Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла второго рода:
\Phi=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy,
где D — круг радиуса R на плоскости xy.
В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда:
\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-2r^2+r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.
Упростим интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.
Теперь вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr.
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
Вычисление силы, действующей на поверхность
Сила, действующая на поверхность S под давлением p(x, y, z), можно вычислить с помощью поверхностного интеграла второго рода:
\mathbf{F}=\iint_{S}p(x,y,z)\mathbf{n}\,dS,
где \mathbf{n} — единичный вектор нормали к поверхности S.
Пример
Рассмотрим пример вычисления силы, действующей на поверхность S, заданную уравнением z = x^2 + y^2 над кругом радиуса R, центрированного в начале координат, под давлением p(x, y, z) = 1.
Сначала найдем нормаль к поверхности:
\mathbf{n}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.
Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла второго рода:
\mathbf{F}=\iint_{S}p(x,y,z)\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy,
где D — круг радиуса R на плоскости xy.
В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда:
\iint_{D}((-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k})\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}((-2r\cos\theta)\mathbf{i}+(-2r\sin\theta)\mathbf{j}+\mathbf{k})r\,dr\,d\theta.
Упростим интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}((-2r^2\cos\theta)\mathbf{i}+(-2r^2\sin\theta)\mathbf{j}+\mathbf{k})\,dr\,d\theta.
Теперь вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{R}((-2r^2\cos\theta)\mathbf{i}+(-2r^2\sin\theta)\mathbf{j}+\mathbf{k})\,dr.
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.