45 lines
3.6 KiB
Markdown
45 lines
3.6 KiB
Markdown
## Формула Остроградского-Гаусса
|
||
|
||
### Формулировка теоремы Остроградского-Гаусса
|
||
|
||
Пусть $V$ — область в трёхмерном пространстве, ограниченная замкнутой поверхностью $S$, и пусть $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определённое на $V$ и $S$. Тогда:
|
||
|
||
$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\oiint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,$$
|
||
|
||
где $\nabla\cdot\mathbf{F}$ — дивергенция векторного поля $\mathbf{F}$, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор внешней нормали к поверхности $S$.
|
||
|
||
### Доказательство теоремы Остроградского-Гаусса
|
||
|
||
Доказательство теоремы Остроградского-Гаусса основано на применении теоремы Стокса и свойств дивергенции векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы о потоке векторного поля через замкнутую поверхность и теоремы о циркуляции векторного поля.
|
||
|
||
### Применение теоремы Остроградского-Гаусса
|
||
|
||
Теорема Остроградского-Гаусса имеет множество приложений в физике и математике. Рассмотрим несколько примеров.
|
||
|
||
#### Пример 1: Вычисление потока векторного поля
|
||
|
||
Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и область $V$, ограниченную сферой радиуса $R$, центрированной в начале координат. Поверхность $S$ — это сфера радиуса $R$.
|
||
|
||
Сначала вычислим дивергенцию векторного поля:
|
||
|
||
$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3.$$
|
||
|
||
Теперь применим теорему Остроградского-Гаусса:
|
||
|
||
$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}\,dV=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3.$$
|
||
|
||
Таким образом, поток векторного поля через поверхность $S$ равен $4\pi R^3$.
|
||
|
||
#### Пример 2: Вычисление объема области
|
||
|
||
Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и область $V$, ограниченную кубом с вершинами $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,1)$, $(0,1,1)$. Поверхность $S$ — это грани куба.
|
||
|
||
Сначала вычислим дивергенцию векторного поля:
|
||
|
||
$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3.$$
|
||
|
||
Теперь применим теорему Остроградского-Гаусса:
|
||
|
||
$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}\,dV=3\cdot1=3.$$
|
||
|
||
Таким образом, объем области $V$ равен $1$. |