4.7 KiB
Приложения криволинейных интегралов второго рода
Вычисление работы
Работа, совершаемая силовым полем \mathbf{F}(x, y, z) при перемещении частицы по кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) для t \in [a, b], можно вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz,
где \mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k} — векторное поле силы, а d\mathbf{r}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k} — вектор элементарного смещения.
Пример
Рассмотрим пример вычисления работы, совершаемой силовым полем \mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k} при перемещении частицы по кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3) для t \in [0, 1].
Сначала вычислим производные:
\frac{dx}{dt}=1,
\frac{dy}{dt}=2t,
\frac{dz}{dt}=3t^2.
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла второго рода:
W=\int_{0}^{1}(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})\,dt=\int_{0}^{1}(t^2\cdot1+t\cdot2t+t^3\cdot3t^2)\,dt.
Упростим интеграл:
\int_{0}^{1}(t^2+2t^2+3t^5)\,dt=\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt.
Теперь вычислим интеграл:
\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt=\left[t^3+\frac{t^6}{2}\right]_{0}^{1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Таким образом, работа, совершаемая силовым полем, равна \frac{3}{2}.
Вычисление потока векторного поля
Поток векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) через кривую C можно вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
\Phi=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
Пример
Рассмотрим пример вычисления потока векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k} через кривую C, параметризованную как (x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3) для t \in [0, 1].
Сначала вычислим производные:
\frac{dx}{dt}=1,
\frac{dy}{dt}=2t,
\frac{dz}{dt}=3t^2.
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла второго рода:
\Phi=\int_{0}^{1}(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})\,dt=\int_{0}^{1}(t^2\cdot1+t\cdot2t+t^3\cdot3t^2)\,dt.
Упростим интеграл:
\int_{0}^{1}(t^2+2t^2+3t^5)\,dt=\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt.
Теперь вычислим интеграл:
\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt=\left[t^3+\frac{t^6}{2}\right]_{0}^{1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Таким образом, поток векторного поля через кривую равен \frac{3}{2}.
Вычисление циркуляции векторного поля
Циркуляция векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) по замкнутой кривой C можно вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
\Gamma=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.
Пример
Рассмотрим пример вычисления циркуляции векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k} по замкнутой кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t) для t \in [0, 2\pi].
Сначала вычислим производные:
\frac{dx}{dt}=-\sin t,
\frac{dy}{dt}=\cos t,
\frac{dz}{dt}=1.
Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла второго рода:
\Gamma=\oint_{C}(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})\,dt=\int_{0}^{2\pi}(\sin t(-\sin t)+\cos t\cos t+t\cdot1)\,dt.
Упростим интеграл:
\int_{0}^{2\pi}(-\sin^2t+\cos^2t+t)\,dt=\int_{0}^{2\pi}(\cos 2t+t)\,dt.
Теперь вычислим интеграл:
\int_{0}^{2\pi}(\cos 2t+t)\,dt=\left[\frac{\sin 2t}{2}+\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2\pi}=0+\frac{(2\pi)^2}{2}=2\pi^2.
Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутой кривой равна 2\pi^2.