University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37.md

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Полный дифференциал. Восстановление функции по её полному дифференциалу.

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Криволинейный интеграл второго рода векторного поля \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} по кривой C определяется как:

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.

Этот интеграл не зависит от пути интегрирования, если векторное поле \mathbf{F} является потенциальным, то есть существует скалярная функция U(x, y, z), такая что:

\mathbf{F}=\nabla U.

Это означает, что:

P=\frac{\partial U}{\partial x}, Q=\frac{\partial U}{\partial y}, R=\frac{\partial U}{\partial z}.

Полный дифференциал

Полный дифференциал функции U(x, y, z) определяется как:

dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy+\frac{\partial U}{\partial z}dz.

Если векторное поле \mathbf{F} является потенциальным, то:

P\,dx+Q\,dy+R\,dz=dU.

Восстановление функции по её полному дифференциалу

Если известен полный дифференциал функции U(x, y, z), то можно восстановить саму функцию U(x, y, z) с точностью до аддитивной константы. Для этого нужно интегрировать полный дифференциал по некоторому пути от начальной точки (x_0, y_0, z_0) до конечной точки (x, y, z):

U(x,y,z)=U(x_0,y_0,z_0)+\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}dU.

Пример

Рассмотрим пример восстановления функции по её полному дифференциалу. Пусть полный дифференциал функции U(x, y, z) имеет вид:

dU=yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz.

Для восстановления функции U(x, y, z) интегрируем полный дифференциал по пути от начальной точки (0, 0, 0) до конечной точки (x, y, z). Выберем путь, состоящий из трёх отрезков: от (0, 0, 0) до (x, 0, 0), от (x, 0, 0) до (x, y, 0) и от (x, y, 0) до (x, y, z).

1. На первом отрезке dy=0 и dz=0, поэтому:

\int_{(0,0,0)}^{(x,0,0)}dU=\int_{0}^{x}yz\,dx=0.

2. На втором отрезке dx=0 и dz=0, поэтому:

\int_{(x,0,0)}^{(x,y,0)}dU=\int_{0}^{y}xz\,dy=0.

3. На третьем отрезке dx=0 и dy=0, поэтому:

\int_{(x,y,0)}^{(x,y,z)}dU=\int_{0}^{z}xy\,dz=xyz.

Суммируя результаты, получаем:

U(x,y,z)=U(0,0,0)+xyz.

Так как U(0,0,0) — это произвольная константа, обозначим её как C. Тогда:

U(x,y,z)=xyz+C.