University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/33.md

Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода. Криволинейные интегралы первого рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим задачу вычисления массы проволоки, имеющей переменную линейную плотность \rho(x, y, z), заданную как функция координат (x, y, z). Если проволока имеет форму кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) для t \in [a, b], то масса проволоки можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода:

M=\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds,

где ds — элемент длины дуги кривой C.

Определение криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл первого рода функции f(x, y, z) по кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) для t \in [a, b], определяется как:

\int_{C}f(x,y,z)\,ds=\int_{a}^{b}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt.

Теорема существования криволинейного интеграла первого рода

Теорема существования криволинейного интеграла первого рода утверждает, что если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой C, то криволинейный интеграл \int_{C}f(x,y,z)\,ds существует.

Свойства криволинейных интегралов первого рода

1. Линейность:

   • Если f(x, y, z) и g(x, y, z) интегрируемы на кривой C, то для любых констант a и b:
   \int_{C}(af(x,y,z)+bg(x,y,z))\,ds=a\int_{C}f(x,y,z)\,ds+b\int_{C}g(x,y,z)\,ds.

2. Аддитивность:

   • Если кривая C состоит из двух частей C_1 и C_2, то:
   \int_{C}f(x,y,z)\,ds=\int_{C_1}f(x,y,z)\,ds+\int_{C_2}f(x,y,z)\,ds.

3. Монотонность:

   • Если f(x, y, z) \geq g(x, y, z) для всех (x, y, z) на кривой C, то:
   \int_{C}f(x,y,z)\,ds\geq\int_{C}g(x,y,z)\,ds.

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим пример вычисления криволинейного интеграла первого рода функции f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 по кривой C, параметризованной как (x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3) для t \in [0, 1].

Сначала вычислим производные:

\frac{dx}{dt}=1, \frac{dy}{dt}=2t, \frac{dz}{dt}=3t^2.

Теперь вычислим элемент длины дуги:

ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt=\sqrt{1+(2t)^2+(3t^2)^2}\,dt=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.

Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла:

\int_{C}(x^2+y^2+z^2)\,ds=\int_{0}^{1}(t^2+(t^2)^2+(t^3)^2)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.

Вычислим интеграл:

\int_{0}^{1}(t^2+t^4+t^6)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.

Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.