6.2 KiB
Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
Криволинейные координаты в пространстве
Криволинейные координаты (u, v, w) в пространстве определяются через декартовы координаты (x, y, z) с помощью преобразования:
x=x(u,v,w),
y=y(u,v,w),
z=z(u,v,w).
Эти преобразования должны быть взаимно однозначными и непрерывно дифференцируемыми в области V.
Выражение объема в криволинейных координатах
Объем элементарной области в криволинейных координатах (u, v, w) выражается через якобиан преобразования:
dV=|J|\,du\,dv\,dw,
где якобиан J определяется как:
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}.
Замена переменных в тройном интеграле
Для замены переменных в тройном интеграле используется якобиан преобразования. Если f(x, y, z) — функция, определенная на области V в декартовых координатах, то тройной интеграл в криволинейных координатах (u, v, w) выражается как:
\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\iiint_{V'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\,du\,dv\,dw,
где V' — область в координатах (u, v, w), соответствующая области V в координатах (x, y, z).
Цилиндрические координаты
Цилиндрические координаты (r, \theta, z) определяются следующим образом:
x=r\cos\theta,
y=r\sin\theta,
z=z.
Якобиан преобразования для цилиндрических координат равен:
J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta&0\\\sin\theta&r\cos\theta&0\\0&0&1\end{vmatrix}=r.
Таким образом, объем элементарной области в цилиндрических координатах выражается как:
dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла функции f(x, y, z) = x^2 + y^2 по цилиндру радиуса R и высоты h, центрированного в начале координат. В цилиндрических координатах (r, \theta, z) область V описывается как 0 \leq r \leq R, 0 \leq \theta \leq 2\pi и 0 \leq z \leq h. Тогда тройной интеграл можно вычислить как:
\iiint_{V}(x^2+y^2)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{h}r^2r\,dz\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{h}r^3\,dz=r^3h.
Теперь вычислим следующий интеграл:
\int_{0}^{R}r^3h\,dr=\left[\frac{r^4h}{4}\right]_{0}^{R}=\frac{R^4h}{4}.
И, наконец, вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{R^4h}{4}\,d\theta=\frac{R^4h}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi R^4h}{2}.
Таким образом, значение тройного интеграла равно \frac{\pi R^4h}{2}.
Сферические координаты
Сферические координаты (\rho, \theta, \phi) определяются следующим образом:
x=\rho\sin\phi\cos\theta,
y=\rho\sin\phi\sin\theta,
z=\rho\cos\phi.
Якобиан преобразования для сферических координат равен:
J=\begin{vmatrix}\sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\\sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\\cos\phi&-\rho\sin\phi&0\end{vmatrix}=\rho^2\sin\phi.
Таким образом, объем элементарной области в сферических координатах выражается как:
dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\theta\,d\phi.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла функции f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 по шару радиуса R, центрированного в начале координат. В сферических координатах (\rho, \theta, \phi) область V описывается как 0 \leq \rho \leq R, 0 \leq \theta \leq 2\pi и 0 \leq \phi \leq \pi. Тогда тройной интеграл можно вычислить как:
\iiint_{V}(x^2+y^2+z^2)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\rho^2\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{R}\rho^4\sin\phi\,d\rho=\left[\frac{\rho^5\sin\phi}{5}\right]_{0}^{R}=\frac{R^5\sin\phi}{5}.
Теперь вычислим следующий интеграл:
\int_{0}^{\pi}\frac{R^5\sin\phi}{5}\,d\phi=\frac{R^5}{5}\left[-\cos\phi\right]_{0}^{\pi}=\frac{2R^5}{5}.
И, наконец, вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{2R^5}{5}\,d\theta=\frac{2R^5}{5}\cdot2\pi=\frac{4\pi R^5}{5}.
Таким образом, значение тройного интеграла равно \frac{4\pi R^5}{5}.