4.4 KiB
Криволинейные координаты на плоскости. Выражение площади в криволинейных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Введение
Криволинейные координаты на плоскости позволяют упростить вычисление двойных интегралов для областей, которые сложно описать в декартовых координатах. В этом билете мы рассмотрим основные понятия криволинейных координат, выражение площади в этих координатах, замену переменных в двойном интеграле и вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Криволинейные координаты на плоскости
Криволинейные координаты (u, v) на плоскости определяются через декартовы координаты (x, y) с помощью преобразования:
x=x(u,v),
y=y(u,v).
Эти преобразования должны быть взаимно однозначными и непрерывно дифференцируемыми в области D.
Выражение площади в криволинейных координатах
Площадь элементарной области в криволинейных координатах (u, v) выражается через якобиан преобразования:
dA=|J|\,du\,dv,
где якобиан J определяется как:
J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}.
Замена переменных в двойном интеграле
Для замены переменных в двойном интеграле используется якобиан преобразования. Если f(x, y) — функция, определенная на области D в декартовых координатах, то двойной интеграл в криволинейных координатах (u, v) выражается как:
\iint_{D}f(x,y)\,dA=\iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|\,du\,dv,
где D' — область в координатах (u, v), соответствующая области D в координатах (x, y).
Полярные координаты
Полярные координаты (r, \theta) являются частным случаем криволинейных координат и определяются следующим образом:
x=r\cos\theta,
y=r\sin\theta.
Якобиан преобразования для полярных координат равен:
J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r.
Таким образом, площадь элементарной области в полярных координатах выражается как:
dA=r\,dr\,d\theta.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла функции f(x, y) = x^2 + y^2 по кругу радиуса R, центрированного в начале координат. В полярных координатах (r, \theta) область D описывается как 0 \leq r \leq R и 0 \leq \theta \leq 2\pi. Тогда двойной интеграл можно вычислить как:
\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^2r\,dr\,d\theta.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{R}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{R}=\frac{R^4}{4}.
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{2\pi}\frac{R^4}{4}\,d\theta=\frac{R^4}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi R^4}{2}.
Таким образом, значение двойного интеграла равно \frac{\pi R^4}{2}.