2.7 KiB
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах: сведение двойного интеграла к повторному
Определение двойного интеграла
Двойной интеграл функции f(x, y) по области D определяется как:
\iint_{D}f(x,y)\,dA.
Сведение двойного интеграла к повторному
Для вычисления двойного интеграла часто удобно свести его к повторному интегралу. Рассмотрим область D, ограниченную кривыми y=g_1(x) и y=g_2(x) на интервале [a,b]. Тогда двойной интеграл можно представить в виде повторного интеграла:
\iint_{D}f(x,y)\,dA=\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx.
Пример 1: Прямоугольная область
Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла функции f(x, y) = x^2 y по прямоугольной области D, ограниченной линиями x = 0, x = 1, y = 0 и y = 2. В этом случае двойной интеграл можно свести к повторному интегралу:
\iint_{D}x^2y\,dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}x^2y\,dy\,dx.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{0}^{2}x^2y\,dy=\left[\frac{x^2y^2}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{4x^2}{2}=2x^2.
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{1}2x^2\,dx=\left[\frac{2x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}.
Таким образом, значение двойного интеграла равно \frac{2}{3}.
Пример 2: Область, ограниченная кривыми
Рассмотрим область D, ограниченную кривыми y = x и y = x^2 на интервале [0, 1]. Функция f(x, y) = xy. Двойной интеграл можно свести к повторному интегралу:
\iint_{D}xy\,dA=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}xy\,dy\,dx.
Вычислим внутренний интеграл:
\int_{x^2}^{x}xy\,dy=\left[\frac{xy^2}{2}\right]_{x^2}^{x}=\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{2}.
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_{0}^{1}\left(\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{2}\right)\,dx=\left[\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{1}{24}.
Таким образом, значение двойного интеграла равно \frac{1}{24}.