University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/4.md

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными: понятие, метод интегрирования.

Определение:

Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

y' = f(x)g(y)

где f(x) и g(y) - некоторые функции от переменных x и y соответственно.

Метод интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными состоит в следующем:

1. Разделим обе части уравнения на g(y):

\frac{y'}{g(y)} = f(x)

2. Интегрируем обе части уравнения по переменной x:

\int \frac{y'}{g(y)} dx = \int f(x) dx + C

где C - произвольная постоянная.

3. Заменим y' на dy/dx и проинтегрируем левую часть уравнения по переменной y:

\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C

4. Найдем решение уравнения относительно y.

Пример:

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

y' = \frac{x}{y}

Это уравнение имеет вид y' = f(x)g(y), где f(x) = x, g(y) = 1/y. Следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными.

Решим это уравнение методом интегрирования:

1. Разделим обе части уравнения на g(y):

y'y = x

2. Интегрируем обе части уравнения по переменной x:

\int y'y dx = \int x dx + C

3. Заменим y' на dy/dx и проинтегрируем левую часть уравнения по переменной y:

\int y dy = \int x dx + C

4. Найдем решение уравнения относительно y:

\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C

y = \pm \sqrt{x^2 + 2C}

Ответ: Решение нашего дифференциального уравнения имеет вид y = \pm \sqrt{x^2 + 2C}.