143 lines
5.5 KiB
Markdown
143 lines
5.5 KiB
Markdown
>Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.
|
||
|
||
1. Линейное неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
|
||
|
||
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
|
||
|
||
$$
|
||
a y''(x) + b y'(x) + c y(x) = f(x) \tag{1}
|
||
$$
|
||
|
||
где $a, b, c$ - постоянные коэффициенты, $a \neq 0$, $y = y(x)$ - неизвестная функция, $x$ - независимая переменная, $y'$ и $y''$ - первая и вторая производные функции $y(x)$ по переменной $x$, $f(x)$ - непрерывная функция на некотором интервале.
|
||
|
||
2. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
|
||
|
||
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (1) при $f(x) \equiv 0$ и одного частного решения уравнения (1):
|
||
|
||
$$
|
||
y(x) = y_0(x) + y_p(x) \tag{2}
|
||
$$
|
||
|
||
где $y_0(x)$ - общее решение однородного уравнения, $y_p(x)$ - частное решение неоднородного уравнения (1).
|
||
|
||
3. Метод вариации произвольных постоянных
|
||
|
||
Для нахождения частного решения $y_p(x)$ неоднородного уравнения (1) можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных. Этот метод основан на следующей идее: предположим, что функция $y_p(x)$ имеет вид:
|
||
|
||
$$
|
||
y_p(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) \tag{3}
|
||
$$
|
||
|
||
где $y_1(x)$ и $y_2(x)$ - линейно независимые решения однородного уравнения, $C_1(x)$ и $C_2(x)$ - некоторые дифференцируемые функции от $x$. Подставим функцию (3) в уравнение (1) и найдем функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$.
|
||
|
||
4. Алгоритм метода вариации произвольных постоянных
|
||
|
||
- Найти фундаментальную систему решений $y_1(x)$, $y_2(x)$ однородного уравнения (1) при $f(x) \equiv 0$.
|
||
|
||
- Построить определитель Виронского $W(x)$:
|
||
|
||
$$
|
||
W(x) = \begin{vmatrix}
|
||
y_1(x) & y_2(x) \\
|
||
y'_1(x) & y'_2(x)
|
||
\end{vmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
- Вычислить функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$ по формулам:
|
||
|
||
$$
|
||
C_1(x) = -\int \frac{y_2(x) f(x)}{W(x)} dx, \quad C_2(x) = \int \frac{y_1(x) f(x)}{W(x)} dx
|
||
$$
|
||
|
||
- Найти частное решение $y_p(x)$ по формуле (3) и построить общее решение $y(x)$ по формуле (2).
|
||
|
||
5. Примеры решения линейных неоднородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
|
||
|
||
Рассмотрим несколько примеров решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
|
||
|
||
Пример 1. Решить уравнение:
|
||
|
||
$$
|
||
y'' + y = \sin(x)
|
||
$$
|
||
|
||
Решение. Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения:
|
||
|
||
$$
|
||
y_1(x) = \cos(x), \quad y_2(x) = \sin(x)
|
||
$$
|
||
|
||
Определитель Виронского:
|
||
|
||
$$
|
||
W(x) = \begin{vmatrix}
|
||
\cos(x) & \sin(x) \\
|
||
-\sin(x) & \cos(x)
|
||
\end{vmatrix} = 1
|
||
$$
|
||
|
||
Функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$:
|
||
|
||
$$
|
||
C_1(x) = -\int \sin(x) \sin(x) dx = -\frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) dx = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin(2x)
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
C_2(x) = \int \cos(x) \sin(x) dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{4} \cos(2x)
|
||
$$
|
||
|
||
Частное решение:
|
||
|
||
$$
|
||
y_p(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) = -\frac{1}{2}x \cos(x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \cos(x) - \frac{1}{4} \cos(2x) \sin(x)
|
||
$$
|
||
|
||
Общее решение:
|
||
|
||
$$
|
||
y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) -\frac{1}{2}x \cos(x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \cos(x) - \frac{1}{4} \cos(2x) \sin(x)
|
||
$$
|
||
|
||
Пример 2. Решить уравнение:
|
||
|
||
$$
|
||
y'' - 3y' + 2y = e^{x}
|
||
$$
|
||
|
||
Решение. Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения:
|
||
|
||
$$
|
||
y_1(x) = e^{x}, \quad y_2(x) = e^{2x}
|
||
$$
|
||
|
||
Определитель Виронского:
|
||
|
||
$$
|
||
W(x) = \begin{vmatrix}
|
||
e^{x} & e^{2x} \\
|
||
e^{x} & 2e^{2x}
|
||
\end{vmatrix} = e^{3x}
|
||
$$
|
||
|
||
Функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$:
|
||
|
||
$$
|
||
C_1(x) = -\int \frac{e^{2x} e^{x}}{e^{3x}} dx = -\int dx = -x
|
||
$$
|
||
|
||
$$
|
||
C_2(x) = \int \frac{e^{x} e^{x}}{e^{3x}} dx = \int dx = x
|
||
$$
|
||
|
||
Частное решение:
|
||
|
||
$$
|
||
y_p(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x) = -x e^{x} + x e^{2x}
|
||
$$
|
||
|
||
Общее решение:
|
||
|
||
$$
|
||
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} -x e^{x} + x e^{2x}
|
||
$$
|