Полноценно готов Третий блок билетов

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/4.md

@@ -0,0 +1,77 @@
+>ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными: понятие, метод интегрирования.
+
+Определение:
+
+Дифференциальным уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
+
+$$
+y' = f(x)g(y)
+$$
+
+где $f(x)$ и $g(y)$ - некоторые функции от переменных $x$ и $y$ соответственно.
+
+Метод интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными состоит в следующем:
+
+1. Разделим обе части уравнения на $g(y)$:
+
+$$
+\frac{y'}{g(y)} = f(x)
+$$
+
+2. Интегрируем обе части уравнения по переменной $x$:
+
+$$
+\int \frac{y'}{g(y)} dx = \int f(x) dx + C
+$$
+
+где $C$ - произвольная постоянная.
+
+3. Заменим $y'$ на $dy/dx$ и проинтегрируем левую часть уравнения по переменной $y$:
+
+$$
+\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C
+$$
+
+4. Найдем решение уравнения относительно $y$.
+
+Пример:
+
+Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:
+
+$$
+y' = \frac{x}{y}
+$$
+
+Это уравнение имеет вид $y' = f(x)g(y)$, где $f(x) = x$, $g(y) = 1/y$. Следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными.
+
+Решим это уравнение методом интегрирования:
+
+1. Разделим обе части уравнения на $g(y)$:
+
+$$
+y'y = x
+$$
+
+2. Интегрируем обе части уравнения по переменной $x$:
+
+$$
+\int y'y dx = \int x dx + C
+$$
+
+3. Заменим $y'$ на $dy/dx$ и проинтегрируем левую часть уравнения по переменной $y$:
+
+$$
+\int y dy = \int x dx + C
+$$
+
+4. Найдем решение уравнения относительно $y$:
+
+$$
+\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C
+$$
+
+$$
+y = \pm \sqrt{x^2 + 2C}
+$$
+
+Ответ: Решение нашего дифференциального уравнения имеет вид $y = \pm \sqrt{x^2 + 2C}$.