Полноценно готов Третий блок билетов

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/2.md

@@ -0,0 +1,91 @@
+>Понятие ДУ 1-го порядка, решение ДУ, задача Коши, геометрический смысл ДУ и его решения. Понятия общего и частного решений для ДУ 1-го порядка.
+
+Определение:
+
+Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида:
+
+$$
+F(x, y, y') = 0
+$$
+
+где $F$ - некоторая функция от трех переменных $x, y, y'$, $y'$ - первая производная функции $y$ по переменной $x$.
+
+Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется любая функция $y = f(x)$, удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале, т.е. такая, что:
+
+$$
+F(x, f(x), f'(x)) = 0
+$$
+
+для всех $x$ из некоторого интервала.
+
+Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка состоит в нахождении решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию вида:
+
+$$
+y(x_0) = y_0
+$$
+
+где $x_0$ и $y_0$ - заданные числа.
+
+Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка заключается в том, что оно определяет направление касательной к графику решения уравнения в каждой точке. Решение уравнения - это кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление, заданное дифференциальным уравнением.
+
+Понятия общего и частного решений для дифференциального уравнения 1-го порядка:
+
+Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется множество всех решений уравнения, зависящих от произвольной постоянной.
+
+Частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется конкретное решение уравнения, полученное из общего решения путем присваивания произвольной постоянной определенного значения.
+
+Примеры:
+
+1. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
+
+$$
+y' = 2x
+$$
+
+Решение:
+
+Интегрируем обе части уравнения:
+
+$$
+y = x^2 + C
+$$
+
+где $C$ - произвольная постоянная.
+
+Ответ: Общее решение дифференциального уравнения $y' = 2x$ имеет вид $y = x^2 + C$.
+
+2. Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
+
+$$
+y' = 2x
+$$
+
+с начальным условием $y(1) = 2$.
+
+Решение:
+
+Найдем общее решение уравнения:
+
+$$
+y = x^2 + C
+$$
+
+Подставим начальное условие:
+
+$$
+2 = 1^2 + C
+$$
+
+Найдем значение произвольной постоянной:
+
+$$
+C = 1
+$$
+
+Подставим значение произвольной постоянной в общее решение:
+
+$$
+y = x^2 + 1
+$$
+
+Ответ: Частное решение дифференциального уравнения $y' = 2x$ с начальным условием $y(1) = 2$ имеет вид $y = x^2 + 1$.