Полноценно готов Третий блок билетов

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 3/1.md

@@ -0,0 +1,117 @@
+>Понятие обыкновенного ДУ, порядок ДУ, решение ДУ.
+
+Определение:
+
+Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение, содержащее неизвестную функцию одной переменной и ее производные. ОДУ записывается в виде равенства двух выражений, содержащих неизвестную функцию и ее производные.
+
+>Пусть $y = y(x)$ - неизвестная функция одной переменной $x$. Тогда обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:
+>$$
+>F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0
+>$$
+>где $F$ - некоторая функция от $x, y, y', y'', ..., y^{(n)}$, $y'$ - первая производная функции $y$ по переменной $x$, $y''$ - вторая производная функции $y$ по переменной $x$, ..., $y^{(n)}$ - $n$-я производная функции $y$ по переменной $x$.
+
+Порядком ОДУ называется наибольший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение.
+>Порядком ОДУ называется наибольший порядок производной неизвестной функции, входящей в уравнение, т.е. $n$.
+
+Решением ОДУ называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале.
+
+>Решением ОДУ называется любая функция $\phi(x)$, удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале, т.е. такая, что:
+>$$
+>F(x, \phi(x), \phi'(x), \phi''(x), ..., \phi^{(n)}(x)) = 0
+>$$
+>для всех $x$ из некоторого интервала.
+
+Изоклинами называются кривые на фазовой плоскости $(x, y)$, соответствующие решениям ОДУ с постоянным значением производной $y'$. Изоклины позволяют визуализировать поведение решений ОДУ и определить их свойства.
+
+Примеры:
+
+1. Найти решение ОДУ первого порядка:
+
+$$
+y' + 2y = 0
+$$
+
+Решение:
+
+Разделим обе части уравнения на $e^{2x}$:
+
+$$
+\frac{y'}{e^{2x}} + \frac{2y}{e^{2x}} = 0
+$$
+
+Заметим, что левая часть уравнения является производной функции $ye^{-2x}$:
+
+$$
+(ye^{-2x})' = 0
+$$
+
+Интегрируем обе части уравнения:
+
+$$
+ye^{-2x} = C
+$$
+
+где $C$ - произвольная постоянная.
+
+Решение ОДУ:
+
+$$
+y = Ce^{2x}
+$$
+
+Ответ: Общее решение ОДУ $y' + 2y = 0$ имеет вид $y = Ce^{2x}$.
+
+2. Найти решение ОДУ второго порядка:
+
+$$
+y'' - 3y' + 2y = 0
+$$
+
+Решение:
+
+Найдем характеристический многочлен уравнения:
+
+$$
+\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0
+$$
+
+Найдем корни характеристического многочлена:
+
+$$
+\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2
+$$
+
+Так как корни характеристического многочлена различны, то общее решение ОДУ имеет вид:
+
+$$
+y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} = C_1e^{x} + C_2e^{2x}
+$$
+
+где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.
+
+Ответ: Общее решение ОДУ $y'' - 3y' + 2y = 0$ имеет вид $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$.
+
+3. Найти изоклины ОДУ первого порядка:
+
+$$
+y' = x - y
+$$
+
+Решение:
+
+Запишем уравнение изоклин:
+
+$$
+y' = C
+$$
+
+где $C$ - произвольная постоянная.
+
+Решим это уравнение относительно $y$:
+
+$$
+y = x - C
+$$
+
+Ответ: Изоклины ОДУ $y' = x - y$ имеют вид $y = x - C$.
+