Init commit

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
+# Ациклический орграф
+**Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов
+**Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины
+
+**Полустепень исхода** ($deg^-(x)$) - число рёбер орграфа, выходящих из вершины x
+**Полустепень захода** ($deg^+(x)$) - число рёбер, входящих в вершину x
+
+# Теорема о монотонной нумерации
+###### Теорема
+Для любого ациклического орграфа существует монотонная нумерация его вершин
+###### Доказательство
+Присваиваются номера вершинам в порядке возрастания, $1, \dots, k$, таким образом уже частичная нумерация монотонна
+
+Выбирается какой-то ориентированный путь P наибольшей длины, проходящий только через вершины, ещё не имеющие номеров. Начальная вершина - $\alpha$
+
+Пусть $\exists$ вершина b так, что $(b,a) \in E$ , тогда вершина
+- не принадлежит P, иначе цикл
+- имеет номер, иначе есть путь больше P