Init commit

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/1.md

@@ -0,0 +1,27 @@
+Логическая функция и способы её задания. Число логических функций.
+Существенные и фиктивные переменные. Основные операции алгебры логики.
+Логические формулы. Эквивалентность функций. Эквивалентность формул.
+
+# Логическая функция и способы её задания.
+- **Логическая функция** (булева) - функция, у которой каждая переменная принимает значения {0, 1} и сама функция возвращает значение из такого множества $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$
+- Любую логическую функцию можно задать перечислением значений на всех различных наборах значений переменных.
+# Число логических функций.
+###### Теорема 
+Существует $2^{2^n}$ логических функций от $n$ переменных
+###### Доказательство
+Функция определяется набором значений и каждый набор длины $2^𝑛$ из элементов 0, 1 задает некоторую функцию от 𝑛 переменных. Логических функций от $n$ переменных имеется ровно столько, сколько существует таких наборов, тo есть $2^{2^n}$
+# Существенные и фиктивные переменные
+- **Фиктивная переменная** - переменная, значение которой не зависит на значение функции
+- **Существенная переменная** - не фиктивная переменная (лол)
+# Основные операции алгебры логики
+- **Отрицание**: $f(x) = \bar x$
+- **Селектор**: $f(x, y) = x$
+- **Конъюнкция**: $f(x, y) = x\&y$
+- **Дизъюнкция**: $f(x, y) = x|y$
+- **Сумма по модулю 2**: $f(x, y) = x \oplus y$
+- **Импликация**: $f(x,y) = x \rightarrow y$
+- **Эквивалентность**: $f(x, y) = x \equiv y$
+# Логические формулы
+**Логические формулы** - формулы, на основе элементарных логических функций
+# Эквивалентность формул
+Две формулы эквивалентны, если они представляют эквивалентные функции

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md

@@ -0,0 +1,43 @@
+Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ.
+
+1. Булева алгебра и её основные свойства
+   Система $<A, \{\&, |, \bar{}, 0, 1 \}>$
+		   Множество **А**
+		   2 элемента: **0, 1**
+		   2 бинарных операций: &, |
+		   Унарная операция: $\bar{}$
+	со следующими свойствами:
+	1. Ассоциативность
+		$x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$ 
+		$x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$
+	2. Коммутативность
+		$x \wedge y = y \wedge x$
+		$x \vee y = y \vee x$
+	3. Дистрибутивность
+		$x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
+		$x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$
+	4. Идемпотентность
+		$x \wedge x = x$, $x \vee x = x$
+2. Основные функции
+	1. Законы де Моргана
+	      $\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$
+	      $\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$
+	2. Закон двойного отрицания
+		   $\bar{\bar x} = x$
+	3. Закон противоречия (исключённого третьего)
+		   $x \wedge \bar x = 0$
+		   $x \vee \bar x = 1$
+	4. Свойства констант
+		   $x \wedge 0 = 0$, $x \vee 1 = 1$
+		   $x \wedge 1 = x$, $x \vee 0 = x$
+		   $\bar1 = 0$, $\bar0 = 1$
+	5. Законы поглощения
+		   $x \wedge (x \vee y) = x$
+		   $x \vee (x \wedge y) = x$
+	6. Закон Блейка-Порецкого
+		   $x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$
+		   $x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$
+3. **Булева формула** - формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1
+4. Нормальные формы (ДНФ и КНФ)
+	- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты
+	- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 * D_2 * \dots * D_m$,, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции 

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3.md

@@ -0,0 +1,23 @@
+Совершенные ДНФ и КНФ. Разложение функции по переменной. Построение СДНФ и СКНФ. Единственность СДНФ и СКНФ.
+
+1. Совершенные ДНФ и КНФ
+	- **СДНФ** - ДНФ, каждая элементарная конъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (0 - тоже СДНФ)
+	- **СКНФ** - КНФ, каждая дизъюнкция которой содержит все переменные, имеющиеся в формуле (1 - тоже СКНФ)
+2. Разложение функции по переменной
+	   $$
+			\begin{equation*}
+				x^\alpha = 
+					\begin{cases}
+						\bar x &\text{если $\alpha = 0$}\\
+						x &\text{если $\alpha = 1$}
+					\end{cases}
+			\end{equation*}
+		$$
+	**Теорема (о разложении функции по переменной)**: Для любой логической функции $𝑓(𝑥_1, 𝑥_2, \dots, 𝑥_𝑛)$ справедливо тождество $$
+	f(x_1, x_2, \dots, x_n) 
+		= x^0_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x^1_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n)
+		= \overline{x_k} * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n) \vee x_k * f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, 0, x_{k+1}, \dots, x_n)
+	$$
+	...
+3. Единственность СДНФ и СКНФ
+   

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md

@@ -0,0 +1,12 @@
+Импликанта логической функции. Свойство склейки. Сокращённая ДНФ.
+
+1. **Импликанта** - элементарная конъюнкция К, которая имплицирует функцию, т.е. $K \rightarrow f = 1$
+2. **Теорема (свойство склейки)**:
+		Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция,
+		причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 –
+		тоже импликанта этой функции.
+	**Доказательство**
+		Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$
+		Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$
+		$(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$
+3. **Сокращённая ДНФ** - дизъюнкция всех простых испликант функции

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/5.md

@@ -0,0 +1,12 @@
+Построение Сокращённой ДНФ. Метод «булева куба». Метод Квайна – Мак-Класки. Метод Нельсона.
+
+1. Построение сокращенной ДНФ
+	   ![[Pasted image 20240607225319.png]]
+2. Метод Квайна
+	   1. Всю совокупность номеров наборов нужно разбить на группы в зависимости от числа единиц, имеющихся в наборах.
+	2. Элементы двух соседних групп (число единиц должно отличаться на 1) необходимо попарно сравнить и выявить пары соседних наборов.
+	3. Соседние наборы пометить и записать результат их склейки.
+	4. Процесс продолжается до тех пор, пока возможны склейки.
+	5. Все несклееные (не помеченные) наборы дают представление функции в виде сокращенной ДНФ.
+3. Метод Нельсона
+	   Построить СКНФ, раскрыть скобки и привести подобные

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md

@@ -0,0 +1,33 @@
+Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.
+
+1. **Алгебра Жегалкина** - алгебраическая система для описания логических функций
+	   1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2
+	   2. Нет отрицания
+	   3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера
+2. Свойства $\oplus$:
+	- $x\oplus 0 = x$
+	- $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$
+	- **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$
+	- **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$
+	- **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$
+	- Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$
+3. Полином Жегалкина
+	   1. Нет скобок
+	   2. Нет одинаковых слагаемых
+	   3. Одним из слагаемых может быть 1
+	   4. 0 - полином, но не слагаемое
+4. **Теорема.** Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.
+   *Доказательство*:
+	f - логическая функция
+	P(f) - её полином
+	   
+	- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|СДНФ]])
+	- В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$)
+	- Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон
+	- Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$)
+	- Одинаковые слагаемые отпадают ($x \oplus x = 0$)
+	
+	Каждое слагаемое в полиноме имеет вид $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}$ или 1. Каждая конъюнкция определяется подмножеством $\{i_1, i_2, \dots, i_k\}$ или $\varnothing$ множества $\{1, 2, \dots, n\}$. Следовательно, множество всех слагаемых содержит $2^n$ элементов
+	
+	Для составления полинома требуется выбрать одно из $2^{2^n}$ подмножеств множества всех возможных слагаемых - полинома от переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Столько же и функций от таких переменных, так что для каждой функции f существует представляющий её полином, и число функций = число полиномов, поэтому P - биекция. А значит, одного полинома хватает только для одной функции
+   

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+Ациклический орграф. Теорема о монотонной нумерации.
+# Ациклический орграф
+**Ациклический орграф** - орграф без ориентированных циклов
+**Монотонная нумерация** вершин графа - нумерация, при котором номер начальной вершины каждого ребра меньше номера конечной вершины
+
+**Полустепень исхода** ($deg^-(x)$) - число рёбер орграфа, выходящих из вершины x
+**Полустепень захода** ($deg^+(x)$) - число рёбер, входящих в вершину x
+
+# Теорема о монотонной нумерации
+###### Теорема
+Для любого ациклического орграфа существует монотонная нумерация его вершин
+###### Доказательство
+Присваиваются номера вершинам в порядке возрастания, $1, \dots, k$, таким образом уже частичная нумерация монотонна
+
+Выбирается какой-то ориентированный путь P наибольшей длины, проходящий только через вершины, ещё не имеющие номеров. Начальная вершина - $\alpha$
+
+Пусть $\exists$ вершина b так, что $(b,a) \in E$ , тогда вершина
+- не принадлежит P, иначе цикл
+- имеет номер, иначе есть путь больше P

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/8.md

@@ -0,0 +1,22 @@
+Схемы из функциональных элементов. Сложность и глубина схем. Способы построения схем в стандартном базисе.
+
+# Схемы из функциональных элементов
+**СФЭ** (Схема из функциональных элементов) - ациклический орграф, содержащий вершины двух типов:
+1. **Входные** (источники) - к вершине приписан уникальный символ переменной
+2. **Функциональные** (гейты) - приписан символ логической функции. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7|Полустепень захода]] совпадает с числом аргументов соответствующей функции1
+Для гейтов используется ограниченный набор функций:
+- **Стандартный** - $\wedge, \vee, \bar{}$
+- **Базис Жегалкина** - $\oplus, \wedge, 1$
+# Сложность и глубина схем
+**Сложность схемы** - число гейтов в схеме
+**Схемная сложность** функции ($L(f)$) - наименьшая сложность схемы, вычисляющий функцию
+**$L(n)$** - наибольшая системная сложность функции от n переменных
+
+> ![NOTE]
+> $L(f)$ и $L(n)$ зависят от базиса
+
+**Глубина схемы** - наибольшая длина ориентированного пути, с началом во входной вершине
+
+# Способы построения схем в стандартном базисе
+1. Использование нормальных форм
+2. [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|Разложение по переменной]]

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md

@@ -0,0 +1,40 @@
+Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.
+
+# Суперпозиция функций
+**Суперпозиция** функции из множества A - 
+1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A
+2. функция, которая может быть получена из A операциями _переименования переменных_ и _подстановки_
+
+**Полная система** функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции
+
+## Операции над функциями
+1. **Переименование переменных** - переменным даются новые имена
+	   $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \rightarrow f(y_1, y_2, \dots, y_n)$
+	   **Отождествление переменных** - разные переменные получают одно имя ($x_1 = x_2 = z$)
+1. **Подстановка** - вместо переменной подставляется функция
+	   $f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
+# Замыкание системы функций
+**Замыкание** множества А (\[A\]) - 
+1. множество всех суперпозиций функция из A
+2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А
+**Замкнутый** класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = \[A\])
+
+# Свойства замыкания
+- $A \subseteq [A]$
+- $[[A]] = [A]$
+- Если $A \subseteq B$, то $[A] \subseteq [B]$
+
+# Полная система функций
+$P_2$ - класс всех логических функций
+**Полная система** функций - 
+1. множество функций, где любая функция является суперпозицией функций из этого множества
+2. множество A, что $[A] = P_2$
+
+# Теорема сведения
+###### Теорема
+Пусть A и B - множества функций. A - полная система и каждая функция из A - суперпозиция функций из B. Тогда B - тоже полная система
+
+###### Доказательство
+Если A - суперпозиция функций из B, то $A \subseteq [B]$. По свойству замыкания, $[A] \subseteq [B]$. Т.к. A - полная система, то $[A] = P_2 \Rightarrow P_2 \subseteq [B]$
+
+$P_2$ состоит из всех лог. функций, значит $[B] \subseteq P_2 \Rightarrow P_2 = [B]$, что значит, что B - полная система