[style] Change headers style

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md

@@ -1,33 +1,40 @@
-Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.
+	Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.
 
-1. **Алгебра Жегалкина** - алгебраическая система для описания логических функций
-	   1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2
-	   2. Нет отрицания
-	   3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера
-2. Свойства $\oplus$:
-	- $x\oplus 0 = x$
-	- $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$
-	- **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$
-	- **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$
-	- **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$
-	- Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$
-3. Полином Жегалкина
-	   1. Нет скобок
-	   2. Нет одинаковых слагаемых
-	   3. Одним из слагаемых может быть 1
-	   4. 0 - полином, но не слагаемое
-4. **Теорема.** Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.
-   *Доказательство*:
-	f - логическая функция
-	P(f) - её полином
-	   
-	- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3|СДНФ]])
-	- В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$)
-	- Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон
-	- Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$)
-	- Одинаковые слагаемые отпадают ($x \oplus x = 0$)
-	
-	Каждое слагаемое в полиноме имеет вид $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}$ или 1. Каждая конъюнкция определяется подмножеством $\{i_1, i_2, \dots, i_k\}$ или $\varnothing$ множества $\{1, 2, \dots, n\}$. Следовательно, множество всех слагаемых содержит $2^n$ элементов
-	
-	Для составления полинома требуется выбрать одно из $2^{2^n}$ подмножеств множества всех возможных слагаемых - полинома от переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Столько же и функций от таких переменных, так что для каждой функции f существует представляющий её полином, и число функций = число полиномов, поэтому P - биекция. А значит, одного полинома хватает только для одной функции
+# **Алгебра Жегалкина**
+\- алгебраическая система для описания логических функций
+   1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2
+   2. Нет отрицания
+   3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера
+
+# Свойства $\oplus$:
+- $x\oplus 0 = x$
+- $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$
+- **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$
+- **Ассоциативность**: $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$
+- **Дистрибутивность**: $x \cdot (y \oplus z) = x \cdot y \oplus x \cdot z$
+- Уравнение $x \oplus a = b$ имеет единственное решение $x = a \oplus b$
+
+# Полином Жегалкина
+   1. Нет скобок
+   2. Нет одинаковых слагаемых
+   3. Одним из слагаемых может быть 1
+   4. 0 - полином, но не слагаемое
+
+# Единственность полинома Жегалкина
+###### Теорема.
+Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.
+
+###### Доказательство:
+f - логическая функция
+P(f) - её полином
+
+- f представляется булевой функцией (например, [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Совершенные ДНФ и КНФ|СДНФ]])
+- В формуле заменяется каждое отрицание ($\bar x = x \oplus 1$) и дизъюнкция ($x \vee y = xy \oplus x \oplus y$)
+- Раскрываются скобки, применяя дистрибутивный закон
+- Каждая конкатенация превращается в элементарную конъюнкцию ($x \cdot x = x$)
+- Одинаковые слагаемые отпадают ($x \oplus x = 0$)
+
+Каждое слагаемое в полиноме имеет вид $x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}$ или 1. Каждая конъюнкция определяется подмножеством $\{i_1, i_2, \dots, i_k\}$ или $\varnothing$ множества $\{1, 2, \dots, n\}$. Следовательно, множество всех слагаемых содержит $2^n$ элементов
+
+Для составления полинома требуется выбрать одно из $2^{2^n}$ подмножеств множества всех возможных слагаемых - полинома от переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. Столько же и функций от таких переменных, так что для каждой функции f существует представляющий её полином, и число функций = число полиномов, поэтому P - биекция. А значит, одного полинома хватает только для одной функции