Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md

@@ -0,0 +1,40 @@
+# Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.
+
+## Введение
+
+Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
+
+## Признак Лейбница
+
+Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида:
+$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$
+где $b_n$ — положительные числа.
+
+Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
+1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$.
+2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
+
+Проверим условия признака Лейбница:
+1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$.
+2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.
+
+Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница.
+
+## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда
+
+Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
+$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$
+где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
+
+Оценка остатка после $n$ членов:
+$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$
+
+Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.