Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+# Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
+
+## Введение
+
+Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
+
+## Признак Даламбера
+
+Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
+
+Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
+$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
+
+- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
+- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
+- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$.
+
+Вычислим предел:
+$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$
+
+Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера.
+
+## Признак Коши (корневой признак)
+
+Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
+
+Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
+$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
+
+- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
+- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
+- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$.
+
+Вычислим предел:
+$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$
+
+Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши.