Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md

@@ -0,0 +1,41 @@
+# Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
+
+## Введение
+
+Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
+
+## Разложение функций произвольного периода
+
+Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид:
+$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$
+
+где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
+$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$
+$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
+$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
+
+## Примеры
+
+### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$
+
+Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
+
+Вычислим коэффициенты Фурье:
+$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$
+$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
+$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
+
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
+$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
+
+### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$
+
+Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
+
+Вычислим коэффициенты Фурье:
+$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$
+$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
+$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
+
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
+$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$