Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md

@@ -0,0 +1,60 @@
+# Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье.
+
+## Введение
+
+Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. 
+
+## Тригонометрический ряд Фурье
+
+Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид:
+$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$
+
+где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.
+
+## Коэффициенты Фурье
+
+Коэффициенты Фурье $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
+$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
+$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
+
+### Пример
+
+Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
+
+Вычислим коэффициенты Фурье:
+$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0$
+$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)dx=0$
+$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
+
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
+$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$
+
+## Достаточное условие разложимости в ряд Фурье
+
+### Теорема
+
+Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале $[-\pi,\pi]$. Тогда $f(x)$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
+
+### Доказательство
+
+Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция $f(x)$ кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале $[-\pi,\pi]$, то её ряд Фурье сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
+
+## Примеры
+
+1. **Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
+Вычислим коэффициенты Фурье:
+$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
+$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
+$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)dx=0$
+
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
+$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
+
+2. **Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
+Вычислим коэффициенты Фурье:
+$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$
+$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$
+$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$
+
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид:
+$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$