Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md

@@ -0,0 +1,62 @@
+# Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
+
+## Введение
+
+Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид:
+$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$
+
+## Разложение элементарных функций
+
+### Экспоненциальная функция
+
+Функция $f(x)=e^x$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
+$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
+
+#### Доказательство
+
+Вычислим производные функции $f(x)=e^x$:
+$f^{(n)}(x)=e^x$
+
+Таким образом, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
+$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$
+
+### Синус
+
+Функция $f(x)=\sin(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
+$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
+
+#### Доказательство
+
+Вычислим производные функции $f(x)=\sin(x)$:
+$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
+$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
+
+Таким образом, $f^{(2n)}(0)=0$ и $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
+$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
+
+### Косинус
+
+Функция $f(x)=\cos(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
+$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
+
+#### Доказательство
+
+Вычислим производные функции $f(x)=\cos(x)$:
+$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
+$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
+
+Таким образом, $f^{(2n)}(0)=(-1)^n$ и $f^{(2n+1)}(0)=0$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
+$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
+
+### Логарифм
+
+Функция $f(x)=\ln(1+x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
+$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$
+
+#### Доказательство
+
+Вычислим производные функции $f(x)=\ln(1+x)$:
+$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}$
+
+Таким образом, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
+$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$