Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md

@@ -0,0 +1,61 @@
+# Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
+
+## Разложение функций в степенные ряды
+
+Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
+$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
+
+## Ряды Тейлора и Маклорена
+
+### Ряд Тейлора
+
+Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
+$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
+
+где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
+
+### Ряд Маклорена
+
+Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$:
+$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
+
+### Пример
+
+Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$.
+
+Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$:
+$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
+
+## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
+
+### Теорема
+
+Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется:
+$|f^{(n)}(x)|\leq M$
+
+для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.
+
+### Доказательство
+
+Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора:
+$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
+
+По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
+$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
+
+где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
+
+Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq M$, то:
+$|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$
+
+Поскольку $\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
+
+## Примеры
+
+1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**:
+Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$:
+$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
+
+2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**:
+Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$:
+$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$