Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+# Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов
+
+## Почленное интегрирование степенных рядов
+
+### Теорема о почленном интегрировании
+
+Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
+$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
+
+### Доказательство
+
+Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
+$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\int_{a}^{b}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\int_{a}^{b}a_nx^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
+
+Найдем радиус сходимости:
+$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
+
+Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно интегрируем ряд на интервале $[0,1]$:
+$\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)}=e-1$
+
+## Почленное дифференцирование степенных рядов
+
+### Теорема о почленном дифференцировании
+
+Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
+$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
+
+### Доказательство
+
+Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
+$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
+
+Найдем радиус сходимости:
+$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
+
+Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно дифференцируем ряд:
+$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$