Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+# Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда
+
+## Введение
+
+Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. 
+
+## Равномерная сходимость функциональных рядов
+
+Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ называется равномерно сходящимся на множестве $D$, если для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство:
+$|S(x)-S_n(x)|<\epsilon$
+где $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — сумма ряда, а $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ — частичная сумма ряда.
+
+## Связь между сходимостью и равномерной сходимостью
+
+Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования.
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
+
+Оценим $|f_n(x)|$:
+$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
+
+Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
+
+## Признак Вейерштрасса
+
+Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
+
+### Формулировка признака Вейерштрасса
+
+Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
+$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
+
+Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
+
+Оценим $|f_n(x)|$:
+$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
+
+Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
+