Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md

@@ -0,0 +1,50 @@
+# Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.
+
+## Введение
+
+Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. Они играют важную роль в математике и её приложениях. 
+
+## Функциональные ряды
+
+Функциональный ряд — это ряд вида:
+$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$
+где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
+
+## Частичная сумма и сумма функционального ряда
+
+Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда:
+$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$
+
+Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$:
+$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$
+
+## Сходимость функционального ряда
+
+Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится в точке $x_0$, если существует конечный предел:
+$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)$
+
+## Область сходимости функционального ряда
+
+Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек $x$, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
+
+## Признаки сходимости функциональных рядов
+
+### Признак Вейерштрасса
+
+Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
+
+#### Формулировка признака Вейерштрасса
+
+Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
+$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
+
+Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
+
+### Пример
+
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
+
+Оценим $|f_n(x)|$:
+$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
+
+Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.