Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md

@@ -1,60 +1,50 @@
 # Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.
 
 ## Введение
-
-Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости. 
+**Условно сходящиеся ряды** — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости. 
 
 ## Условно сходящиеся ряды
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ расходится.
+Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется *условно сходящимся*, если он *сходится*, но ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ *расходится*.
 
 ## Признак Дирихле
+**Признак Дирихле** позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
 
-Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
-
-### Формулировка признака Дирихле
-
+### Формулировка
 Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
-1. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$.
+1. Частичные суммы $A_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$.
 2. $b_n$ монотонно стремится к нулю, то есть $b_n\to0$ и $b_n\geq b_{n+1}$ для всех $n$.
-
-Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
+Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
-
-Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}$ ограничены, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Дирихле.
+Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac 1 n$. Частичные суммы $A_n = \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}$ *ограничены*, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ *монотонно стремится* к нулю. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ сходится по признаку Дирихле.
 
 ## Признак Абеля
+**Признак Абеля** является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
 
-Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
-
-### Формулировка признака Абеля
-
+### Формулировка
 Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
-1. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится.
+1. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
 2. $b_n$ монотонно ограничена, то есть существует такое число $M$, что $|b_n|\leq M$ для всех $n$, и $b_n$ монотонна.
 
-Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
+Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
-
-Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}$ сходится по признаку Лейбница. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно ограничена. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Абеля.
+Пусть $a_n = (-1)^{n+1}$ и $b_n = \frac 1 n$. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}$ *сходится* по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]]. Последовательность $b_n = \frac 1 n$ *монотонно ограничена*. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$ *сходится* по признаку Абеля.
 
 ## Теорема Римана
+**Теорема Римана** утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
 
-Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
+### Формулировка
+Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ — *условно сходящийся* ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд *сходится* к любому заранее заданному числу или расходится.
 
-### Формулировка теоремы Римана
-
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится.
-
-### Пример
-
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
-
-Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
+%%
+###
+Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
 
+Этот ряд *условно сходится*. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
+%%